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一、两位教师教学“一个数除以分数”的教学片断
教学片断一：
教师出示例题：一辆摩托3/10小时行驶18千米。1小时行驶多少千米?
(学生读题，理解题意)
师：这道题你会列式吗?为什么?(学生回答后，板书：18÷3/10)
师：18＋3/10击应该怎样计算呢?先请大家自学课本的推导方法，把不理解的地方画出来，与小组成员讨论、交流。如果你们小组还不理解，可在全班集中交流时提出来讨论。
(学生以4人为单位进行小组学习，而后进行全班交流)
师：其他组还有什么不懂的吗?
生1：我们组对第一步“求1小时行的千米数”用18×10/3婴来计算，经过讨论还是不明白。
生2：我们组也是这样。
师：有没有哪一组能解释一下呢?
(教师扫视全班，但无一学生发表意见)
师：(手指黑板所画线段图)1小时是几个1/10小时?
生3：1小时是10个1/10小时。
师：大家都知道1个1/10小时行了——(生：18×1/3)千米)。
师：那么10个小时行了多少千米?
生4：1个1/10小时行18×1/3(千米)，那么10个小时应行10个18×1/3(千米)，即18×1/3×10(千米)。
师：对，也就是1小时行的千米数是18×1/3×10(千米)，即18×1/3×10)(千米)，所以求“1小时行多少千米”就用18×10/3(千米)计算。(教师边讲解边板书)
学生边听边看，终于纷纷点头，恍然大悟。
教学片断二：
呈现问题：一辆摩托车3/10小时行驶18千米，1小时行驶多少千米?
学生根据“速度＝路程÷时间”列出算式：18÷3/10。
师：画图是一种很好的解决问题策略。如果用线段图表示3/10小时行驶的18千米，大家思考一下，表示1小时行驶的路程应该怎样画?请大家先独立思考并在练习纸上(事先印好)画一画，然后我们再交流。
学生独立思考画图，然后交流汇报，主要有三种画法：
生1：先画3个18千米，就是3个3/10小时行驶的路程，再画18千米的三分之一长，也就是百1小时行驶的路程，合起来就是1小时行驶的路程。算式是18×3＋18×1/3＝60(千米)。
1小时行驶多少千米?
生2：因为1小时有10个1/10小时，3/10小时有3个1/10小时。先从18千米里平均分得1/10小时行驶的路程，再画10个1/10小时行驶的路程，就是1小时行驶的路程，算式是18×1/3×10＝60(千米)。
1小时行驶多少千米?
生3：把1小时行驶的路程看作10份，3/10小时行驶的路程占其中3份。10份长是3份长的10/3倍。求1小时行驶多少路程就是求18千米的10/3是多少，算式是18×10/3＝60(千米)。
师：大家的想法都有道理。
学生经过讨论，整理得：18×3＋18×1/3＝18×(3＋1/3)＝18×10/3；18×1/3×10＝18×(1/3×10)＝18×10/3。最后师生共同总结出：整数除以分数可以转化为乘这个分数的倒数。
二、两种教法的比较
案例1中，教师采用了“自学生疑——小组探究——启发讲解”的教学方式，使学生在自学中产生疑问，带到小组中也不能解决，进而产生了需要教师讲解的学习需求，这时教师准确精当的讲解及时满足了学生的心理需求，引导学生有效突破了认知难点，这样的教学融自学、探究、讲解等多种方式于一体，不能不说是一种有效的教学。
案例2中，教师让学生自主尝试发现计算的法则，然而，如果没有什么凭借，学生自主探索与发现计算方法的确实有一定的困难。怎么办?教师是进行一定的铺垫与暗示，还是努力为寻求一定的数学学习方法，来帮助学生进行研究与发现?教者想到了“画线段图”，用线段图为学生搭建了进行数学思考的“脚手架”。通过一段残缺的线段，让学生思考1小时与3/10小时之间的联系，1小时行驶的路程与3/10小时行驶的路程之间的联系。这一设计，为学生多样化的个性思维发展提供了空间，产生了有意义的探索，教师引导学生通过“画线段图”来建立新旧知识间的联系，促进了学生的自我建构。
然而在这里，我们必须指出两点事实：案例1中学生整体的参与度较高，学生对计算法则的理解较为充分，课堂练习中的正确率很高。案例2中，学生学习热情高涨，但只有少部分学生自主发现了一个数除以分数的计算方法，更多的同学充当了旁听者的角色，课堂练习中正确率低于案例1中的学生。
三、关于“接受学习”与“发现学习”的思考与启示
笔者无意评判这两种教法孰优孰劣，事实上，两种教法也各有所长，难以简单的加以评判。两种教法的比较引发了我对学习方式变革的深思，新课程背景下的课堂需要接受学习吗?新课程中的学生学习一定要采用自主发现的学习方式吗?笔者以为，这是一个非常有必要让教师在认识上给以明晰的问题。
1．接受学习等同于“填鸭式”教学吗
新课程背景下的数学课堂还需要接受学习吗?接受学习是否就是“填鸭式”教学?如果教师对这些问题没有正确的判断，就难免会陷入谈“接受”而色变的境地。数学课程标准指出：有效的数学学习不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。由此可见，数学标准强调不能忽略动手实践、自主探索、合作交流这些重要方式，并不排斥接受学习，而是要摒弃“机械的”、“无意义”的接受学习。
我以为，接受学习并不等同于“填鸭式”教学。“填鸭式”教学是将学生视为知识的容器，机械的注入式教学，是无意义的接受学习的极端表现形式。而接受学习也可以是有意义的，有意义的接受学习在数学教学中仍然有非常重要的作用。
有意义的接受学习要依靠理解。“理解”是指新旧知识之间的实质性、非人为的联系。有意义学习必须具备两个条件：一是学生能够表现出将新旧知识之间建立联系的倾向和愿望，二是学习内容对学生而言是具有潜在意义的，即能够与学生的已有知识结构建立联系。这种联系必须是实质性的，而非字面上的联系。就数学教学而言，数学学习的内容要能够激发学生学习的兴趣，同时学习的内容要与学生的已有知识结构相联系。这样，知识的同化和顺应才能产生。因此，有意义的接受学习也是学生学习数学不可或缺的重要方式，它并没有违背学生的认知规律。
2．发现学习一定比接受学习优越吗
在数学教学实践中，我们发现，发现学习能够激发学生的学习兴趣，促进学生认知的自我构建，在发现活动中学生的思维得以发展，对自主探索发现的规律、法则有 深刻的认识。同时，数学教材本身也有着许多可以供学生探索发现的内容，可以说，绝大多数的知识可以在老师的指导下由学生自主发现。但是，我们并不能以此断定发现学习一定优越于接受学习。因为，实践中我们也发现，虽然后进生在发现学习中也表现出极大的热情，积极的参与，然而因其认知水平的不足，在学习过程中收获甚少乃至无所收获。正如案例2中，虽然少数学生通过“画线段图”发现了一个数除以分数的计算方法，但这种少数个体思维的活跃与发展并不能代表学生群体的思维发展。
研究表明，发现学习有利于基础好、智力好的学生，而不利于基础差、智力差的学生，尤其在一个学生认知水平参差不齐的班级采用，会在成绩上产生比较严重的两极分化。进而，“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”在客观上已经形成一个悖论。主观上，我们需要发现学习，发挥学生主体性，让学生自主发现数学规律和数学知识，客观上，发现学习的过多运用，对学生主体地位的过于尊重带来了学生掌握数学知识和技能的削弱，导致了学生在起跑线上的两极分化。
3．如何在接受学习与发现学习之间寻求平衡
笔者以为，改革不能搞所谓的“矫枉过正”，《中庸》中的“极高明而道中庸”，正是我们要把握的秘诀一寻求平衡，在平衡中深化，在平衡中寻求突破。那么教师该如何在接受学习与发现学习之间寻求平衡呢?
事实上，在学生的实际数学学习中，这两种学习方式都是需要的，它们各有优势也各有不足。因此，我们必须根据学科特点、教学目标和学生的年龄特征来决定，通过寻求平衡，更好地实现接受学习与发现学习的融合与互补。因此，更多的时候，我们需要将发现学习与接受学习融合起来使用。概念类的知识只要让学生有意义的接受，记忆就可以了。而对于一些数学运算定律、法则、图形面积的计算、体积计算公式，由于其内容的多样性和探索过程蕴含的丰富价值，可以让学生去尝试发现学习。
进一步而言，教师在教学过程中，不要将接受学习与发现学习截然对立起来，而要努力做到“接受中有发现，发现中有接受”(特级教师沈重予语)，实现发现学习与接受学习在更高层次上的融合。比如上述案例2中，设计上可以作这样的改动，当学生探究之前，教师不妨进行必要的讲解与铺垫，“1小时与3/10小时有怎样的关系?1/10小时行驶的路程你会在图上表示吗?”然后让学生尝试画线段图，启发更多的同学发现两者之间的关系，促进更多的学生发现计算规律，促进学生整体的数学思维发展。
经历了以上的分析和思考，我们可以得到一个重要的启示：接受学习与发现学习在学生的学习过程中并非水火不容、互相排斥，只要我们寻求到它们之间的平衡点，那么，两者完全可以“化干戈为玉帛”，相辅相成、相得益彰，从而达到“你中有我，我中有你”的和谐状态。
责任编辑：陈国庆
教学片断一：
教师出示例题：一辆摩托3/10小时行驶18千米。1小时行驶多少千米?
(学生读题，理解题意)
师：这道题你会列式吗?为什么?(学生回答后，板书：18÷3/10)
师：18＋3/10击应该怎样计算呢?先请大家自学课本的推导方法，把不理解的地方画出来，与小组成员讨论、交流。如果你们小组还不理解，可在全班集中交流时提出来讨论。
(学生以4人为单位进行小组学习，而后进行全班交流)
师：其他组还有什么不懂的吗?
生1：我们组对第一步“求1小时行的千米数”用18×10/3婴来计算，经过讨论还是不明白。
生2：我们组也是这样。
师：有没有哪一组能解释一下呢?
(教师扫视全班，但无一学生发表意见)
师：(手指黑板所画线段图)1小时是几个1/10小时?
生3：1小时是10个1/10小时。
师：大家都知道1个1/10小时行了——(生：18×1/3)千米)。
师：那么10个小时行了多少千米?
生4：1个1/10小时行18×1/3(千米)，那么10个小时应行10个18×1/3(千米)，即18×1/3×10(千米)。
师：对，也就是1小时行的千米数是18×1/3×10(千米)，即18×1/3×10)(千米)，所以求“1小时行多少千米”就用18×10/3(千米)计算。(教师边讲解边板书)
学生边听边看，终于纷纷点头，恍然大悟。
教学片断二：
呈现问题：一辆摩托车3/10小时行驶18千米，1小时行驶多少千米?
学生根据“速度＝路程÷时间”列出算式：18÷3/10。
师：画图是一种很好的解决问题策略。如果用线段图表示3/10小时行驶的18千米，大家思考一下，表示1小时行驶的路程应该怎样画?请大家先独立思考并在练习纸上(事先印好)画一画，然后我们再交流。
学生独立思考画图，然后交流汇报，主要有三种画法：
生1：先画3个18千米，就是3个3/10小时行驶的路程，再画18千米的三分之一长，也就是百1小时行驶的路程，合起来就是1小时行驶的路程。算式是18×3＋18×1/3＝60(千米)。
1小时行驶多少千米?
生2：因为1小时有10个1/10小时，3/10小时有3个1/10小时。先从18千米里平均分得1/10小时行驶的路程，再画10个1/10小时行驶的路程，就是1小时行驶的路程，算式是18×1/3×10＝60(千米)。
1小时行驶多少千米?
生3：把1小时行驶的路程看作10份，3/10小时行驶的路程占其中3份。10份长是3份长的10/3倍。求1小时行驶多少路程就是求18千米的10/3是多少，算式是18×10/3＝60(千米)。
师：大家的想法都有道理。
学生经过讨论，整理得：18×3＋18×1/3＝18×(3＋1/3)＝18×10/3；18×1/3×10＝18×(1/3×10)＝18×10/3。最后师生共同总结出：整数除以分数可以转化为乘这个分数的倒数。
二、两种教法的比较
案例1中，教师采用了“自学生疑——小组探究——启发讲解”的教学方式，使学生在自学中产生疑问，带到小组中也不能解决，进而产生了需要教师讲解的学习需求，这时教师准确精当的讲解及时满足了学生的心理需求，引导学生有效突破了认知难点，这样的教学融自学、探究、讲解等多种方式于一体，不能不说是一种有效的教学。
案例2中，教师让学生自主尝试发现计算的法则，然而，如果没有什么凭借，学生自主探索与发现计算方法的确实有一定的困难。怎么办?教师是进行一定的铺垫与暗示，还是努力为寻求一定的数学学习方法，来帮助学生进行研究与发现?教者想到了“画线段图”，用线段图为学生搭建了进行数学思考的“脚手架”。通过一段残缺的线段，让学生思考1小时与3/10小时之间的联系，1小时行驶的路程与3/10小时行驶的路程之间的联系。这一设计，为学生多样化的个性思维发展提供了空间，产生了有意义的探索，教师引导学生通过“画线段图”来建立新旧知识间的联系，促进了学生的自我建构。
然而在这里，我们必须指出两点事实：案例1中学生整体的参与度较高，学生对计算法则的理解较为充分，课堂练习中的正确率很高。案例2中，学生学习热情高涨，但只有少部分学生自主发现了一个数除以分数的计算方法，更多的同学充当了旁听者的角色，课堂练习中正确率低于案例1中的学生。
三、关于“接受学习”与“发现学习”的思考与启示
笔者无意评判这两种教法孰优孰劣，事实上，两种教法也各有所长，难以简单的加以评判。两种教法的比较引发了我对学习方式变革的深思，新课程背景下的课堂需要接受学习吗?新课程中的学生学习一定要采用自主发现的学习方式吗?笔者以为，这是一个非常有必要让教师在认识上给以明晰的问题。
1．接受学习等同于“填鸭式”教学吗
新课程背景下的数学课堂还需要接受学习吗?接受学习是否就是“填鸭式”教学?如果教师对这些问题没有正确的判断，就难免会陷入谈“接受”而色变的境地。数学课程标准指出：有效的数学学习不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。由此可见，数学标准强调不能忽略动手实践、自主探索、合作交流这些重要方式，并不排斥接受学习，而是要摒弃“机械的”、“无意义”的接受学习。
我以为，接受学习并不等同于“填鸭式”教学。“填鸭式”教学是将学生视为知识的容器，机械的注入式教学，是无意义的接受学习的极端表现形式。而接受学习也可以是有意义的，有意义的接受学习在数学教学中仍然有非常重要的作用。
有意义的接受学习要依靠理解。“理解”是指新旧知识之间的实质性、非人为的联系。有意义学习必须具备两个条件：一是学生能够表现出将新旧知识之间建立联系的倾向和愿望，二是学习内容对学生而言是具有潜在意义的，即能够与学生的已有知识结构建立联系。这种联系必须是实质性的，而非字面上的联系。就数学教学而言，数学学习的内容要能够激发学生学习的兴趣，同时学习的内容要与学生的已有知识结构相联系。这样，知识的同化和顺应才能产生。因此，有意义的接受学习也是学生学习数学不可或缺的重要方式，它并没有违背学生的认知规律。
2．发现学习一定比接受学习优越吗
在数学教学实践中，我们发现，发现学习能够激发学生的学习兴趣，促进学生认知的自我构建，在发现活动中学生的思维得以发展，对自主探索发现的规律、法则有 深刻的认识。同时，数学教材本身也有着许多可以供学生探索发现的内容，可以说，绝大多数的知识可以在老师的指导下由学生自主发现。但是，我们并不能以此断定发现学习一定优越于接受学习。因为，实践中我们也发现，虽然后进生在发现学习中也表现出极大的热情，积极的参与，然而因其认知水平的不足，在学习过程中收获甚少乃至无所收获。正如案例2中，虽然少数学生通过“画线段图”发现了一个数除以分数的计算方法，但这种少数个体思维的活跃与发展并不能代表学生群体的思维发展。
研究表明，发现学习有利于基础好、智力好的学生，而不利于基础差、智力差的学生，尤其在一个学生认知水平参差不齐的班级采用，会在成绩上产生比较严重的两极分化。进而，“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”在客观上已经形成一个悖论。主观上，我们需要发现学习，发挥学生主体性，让学生自主发现数学规律和数学知识，客观上，发现学习的过多运用，对学生主体地位的过于尊重带来了学生掌握数学知识和技能的削弱，导致了学生在起跑线上的两极分化。
3．如何在接受学习与发现学习之间寻求平衡
笔者以为，改革不能搞所谓的“矫枉过正”，《中庸》中的“极高明而道中庸”，正是我们要把握的秘诀一寻求平衡，在平衡中深化，在平衡中寻求突破。那么教师该如何在接受学习与发现学习之间寻求平衡呢?
事实上，在学生的实际数学学习中，这两种学习方式都是需要的，它们各有优势也各有不足。因此，我们必须根据学科特点、教学目标和学生的年龄特征来决定，通过寻求平衡，更好地实现接受学习与发现学习的融合与互补。因此，更多的时候，我们需要将发现学习与接受学习融合起来使用。概念类的知识只要让学生有意义的接受，记忆就可以了。而对于一些数学运算定律、法则、图形面积的计算、体积计算公式，由于其内容的多样性和探索过程蕴含的丰富价值，可以让学生去尝试发现学习。
进一步而言，教师在教学过程中，不要将接受学习与发现学习截然对立起来，而要努力做到“接受中有发现，发现中有接受”(特级教师沈重予语)，实现发现学习与接受学习在更高层次上的融合。比如上述案例2中，设计上可以作这样的改动，当学生探究之前，教师不妨进行必要的讲解与铺垫，“1小时与3/10小时有怎样的关系?1/10小时行驶的路程你会在图上表示吗?”然后让学生尝试画线段图，启发更多的同学发现两者之间的关系，促进更多的学生发现计算规律，促进学生整体的数学思维发展。
经历了以上的分析和思考，我们可以得到一个重要的启示：接受学习与发现学习在学生的学习过程中并非水火不容、互相排斥，只要我们寻求到它们之间的平衡点，那么，两者完全可以“化干戈为玉帛”，相辅相成、相得益彰，从而达到“你中有我，我中有你”的和谐状态。
责任编辑：陈国庆