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中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2009)20-017-01
美国应用数学家M·克莱因在《西方文化中的数学》一文中指出:“数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度。”[1]在教学中着力对学生培养、熏陶以形成一种潜在的数学精神,这对于真正使学生形成一种素质具有莫大的意义。以此使学生从数学活动中体会到数学的思维方式、行为规范、价值取向、理想追求等意向性心理,使数学知识、数学方法、数学思想、数学意识、数学观念等不断抽象概括和内化,积淀为受教者个性气质的一部分。
数学,“思维的体操”,理应成为培养学生自由思维能力的最前沿学科。为了培养学生的思维的自由精神,在教学中我们尤其应充分尊重学生的独立思考精神,尽量鼓励他们探索问题,自己得出结论,支持他们大胆怀疑,勇于创新,不“人云亦云”。以下笔者归纳了六种基本能力,通过对这六种能力的培养可以在
教学实践中有意识地培养学生思维地自由精神。
(—)观察能力
观察是智力的门户,是思维的前哨,是启动思维的按钮。观察的深刻与否,决定着自由思维的形成。因此,引导学生明白对一个问题不要急于按想的套路求解,而要深刻观察,去伪存真,这不但为最终解决问题奠定基础,而且,也可能创见性的寻找到解决问题的契机。
例: 求lgtg1о·lgtg2о·…lgtg89о的值。
凭直觉我们可能从问题的结构中去寻求规律性,但这显然是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势的干扰表现为思维的呆板性,而深刻地观察、细致的分析,克服了这种思维弊端,形成自己有创见的思维模式。在这里,我们可以引导学生深入观察,发现题中所显示的规律只是一种迷人的假象,并不能帮助解题。突破这种定势的干扰,最终发现出题中隐含的条件lgtg45о=0这个关键点,从而能迅速地得出问题的答案。
(二)猜想能力
猜想是由已知原理、事实,对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题。在我们的数学教学中,培养学生进行猜想,是激发学生学习兴趣,发展学生直觉思维,掌握探求知识方法的必要手段。我们要善于启发、积极指导、热情鼓励学生进行猜想,以真正达到启迪思维、传授知识的目的。
例:在直线l上同侧有C、D两点,在直线l上要求找一点M,使它对C、D两点的张角最大。
本题的解不能一眼就看出。这时我们可以这样去引导学生:假设动点M在直线l上从左向右逐渐移动,并随时观察∠α的变化,可发现:开始是张角极小,随着M点的右移,张角逐渐增大,之后张角又逐渐变小。于是初步猜想,在这两个极端情况之间一定存在一点M,它对C、D两点所张角最大。如果结合圆弧的圆周角的知识,便可进一步猜想:过C、D两点所作圆与直线l相切,切点M即为所求。然而,过C、D两点且与直线l相切的圆是否只有一个,我们还需要再进一步引导学生猜想。这样随着猜想的不断深入,学生的创造性动机被有效地激发出来,自由思维得到了较好地培养。
(三)质疑能力
质疑思维就是积极地保持和强化自己的好奇心和想象力,不迷信权威,不轻信直观,不放过任何一个疑点,敢于提出异议与不同看法,尽可能多地向自己提出与研究对象有关的各种问题。提倡多思独思,反对人云亦云,书云亦云。
例:在讲授反正弦函数时,教者可以这样安排讲授:
①对于我们过去所讲过的正弦函数Y=sinX是否存在反函数?为什么?②在(-∞,+∞)上,正弦函数Y=sinX不存在反函数,那么我们本节课应该怎么样研究所谓的反正弦函数呢?③为了使正弦函数Y=sinX满足Y与X间成单值对应,这某一区间如何寻找,怎样的区间是最佳区间,为什么?讲授反余弦函数Y=cosX时,在完成了上述同样的三个步骤后,我们可向学生提出第四个问题:④反余弦函数Y=arccosX与反正弦函数Y=arcsinX在定义时有什么区别。造成这些区别的主要原因是什么,学习中应该怎样注意这些区别。通过这一系列的问题质疑,使学生对反正弦函数得到了创造性地理解与掌握。
(四)联想能力
联想的能力首先建立在对形式和质地的深刻把握,不局限于“形”,而在于“神” ,通过对本质的理解达到学科之间的融会。
例1:“已知a,b,m∈R+,并且a 根据目标的结构特征,改变一下考察问题的角度,或同时对目标的结构作些调整、重新组合,可获得如下思路:
①两点(b,a)、(-m,-m)的连线的斜率大于两点(b,a)、(0,0)的连线的斜率;②b个单位溶液中有a个单位溶质,其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度;③在数轴上的原点和坐标为1的点处,分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心,位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
例2:求值:sin210°+sin250°+sin10°sin50°
通过对结构形式的联想可以做这样处理:构造以1为直径的圆内接三角形,三个角分别为10°、50°、120°,则sin10°、sin50°、sin120°可构成三角形三边长。 逆用余弦定理:sin210°+sin250°2sin10°sin50°cos120°=sin2120°则原式的值等于3/4灵活的构想独特巧妙,将解题的精髓演绎得淋漓尽致。
(五)统摄能力
在数学解题教学中,我们要教育学生不能单纯的依靠定义、定理,而是吸收另一些习题的启示,拓宽思维的广度;在教学中启发学生逐步完成某个单元、章节或某些解题方法规律的总结,培养学生的思维统摄能力。
例:设a是自然数,但a不是5的倍数,求证:a1992―1能被5整除。
本题的结论给人的直观映象是进行因式分解。许多学生往往很难走下去。这时,我们可以引导学生进行深入地分析,努力寻找其它切实可行的办法。在这里,
思维的统摄能力很为重要。本题的最优化的解法莫过于将a1992写成(a4)498的形式,对a进行奇偶性的讨论:a为奇数时个位数字必为1;a为偶数时必为6。故a1992―1必为5的倍数。由此可知,灵感的产生,是思维统摄的必然结果。所以说,当我们引导学生站到知识结构的至高点时,他们就能把握问题的脉络,他们的思维就能够闪耀出创造性的火花!
(六) 发散能力
“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息,其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出,很可能会发生转换作用。”在高中教学中应该提倡用“解一题,会一类”来培养学生思维发散。
例:F1、F2 是椭圆的两个焦点,Q是椭圆上的任一点,从任一焦点向△F1QF2的顶点Q的外角平分线作垂线,垂足为P,点P的轨迹是曲线C的一部分,则曲线C是( )
A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
本题考查的是用几何法求轨迹,充分利用椭圆的第一定义,选A;之后,教师可启发学生:横向类比定义,双曲线中是否也有类似问题? 又作怎样的修改? 通过提示发散思维,自然过渡,通过一题多变,增进知识间联系,学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
在当前的数学教学中,普遍存在着比较重视集中思维的训练,而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的,用多种方法,能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向,能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径,能举一反三,触类旁通,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案。
笔者认为自由思维品质包含了思维的灵活性、广阔性、敏捷性、深刻性、独创性和批判性等多个方面。要培养学生思维的自由精神,首先必须转变我们教师的教学观念。现代教学理论认为向学生传授一定的基本理论和基础知识,是学科教学的重要职能,但不是唯一职能,在加强基础知识教学的同时,应该着重培养学生思维的自由意识,使思维突破“定向”、“模式”的束缚,不拘泥于书本所学、老师所教,鼓励学生科学的质疑、合理的“挑剔”。数学不仅追求真,还追求美、追求善。
美国应用数学家M·克莱因在《西方文化中的数学》一文中指出:“数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度。”[1]在教学中着力对学生培养、熏陶以形成一种潜在的数学精神,这对于真正使学生形成一种素质具有莫大的意义。以此使学生从数学活动中体会到数学的思维方式、行为规范、价值取向、理想追求等意向性心理,使数学知识、数学方法、数学思想、数学意识、数学观念等不断抽象概括和内化,积淀为受教者个性气质的一部分。
数学,“思维的体操”,理应成为培养学生自由思维能力的最前沿学科。为了培养学生的思维的自由精神,在教学中我们尤其应充分尊重学生的独立思考精神,尽量鼓励他们探索问题,自己得出结论,支持他们大胆怀疑,勇于创新,不“人云亦云”。以下笔者归纳了六种基本能力,通过对这六种能力的培养可以在
教学实践中有意识地培养学生思维地自由精神。
(—)观察能力
观察是智力的门户,是思维的前哨,是启动思维的按钮。观察的深刻与否,决定着自由思维的形成。因此,引导学生明白对一个问题不要急于按想的套路求解,而要深刻观察,去伪存真,这不但为最终解决问题奠定基础,而且,也可能创见性的寻找到解决问题的契机。
例: 求lgtg1о·lgtg2о·…lgtg89о的值。
凭直觉我们可能从问题的结构中去寻求规律性,但这显然是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势的干扰表现为思维的呆板性,而深刻地观察、细致的分析,克服了这种思维弊端,形成自己有创见的思维模式。在这里,我们可以引导学生深入观察,发现题中所显示的规律只是一种迷人的假象,并不能帮助解题。突破这种定势的干扰,最终发现出题中隐含的条件lgtg45о=0这个关键点,从而能迅速地得出问题的答案。
(二)猜想能力
猜想是由已知原理、事实,对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题。在我们的数学教学中,培养学生进行猜想,是激发学生学习兴趣,发展学生直觉思维,掌握探求知识方法的必要手段。我们要善于启发、积极指导、热情鼓励学生进行猜想,以真正达到启迪思维、传授知识的目的。
例:在直线l上同侧有C、D两点,在直线l上要求找一点M,使它对C、D两点的张角最大。
本题的解不能一眼就看出。这时我们可以这样去引导学生:假设动点M在直线l上从左向右逐渐移动,并随时观察∠α的变化,可发现:开始是张角极小,随着M点的右移,张角逐渐增大,之后张角又逐渐变小。于是初步猜想,在这两个极端情况之间一定存在一点M,它对C、D两点所张角最大。如果结合圆弧的圆周角的知识,便可进一步猜想:过C、D两点所作圆与直线l相切,切点M即为所求。然而,过C、D两点且与直线l相切的圆是否只有一个,我们还需要再进一步引导学生猜想。这样随着猜想的不断深入,学生的创造性动机被有效地激发出来,自由思维得到了较好地培养。
(三)质疑能力
质疑思维就是积极地保持和强化自己的好奇心和想象力,不迷信权威,不轻信直观,不放过任何一个疑点,敢于提出异议与不同看法,尽可能多地向自己提出与研究对象有关的各种问题。提倡多思独思,反对人云亦云,书云亦云。
例:在讲授反正弦函数时,教者可以这样安排讲授:
①对于我们过去所讲过的正弦函数Y=sinX是否存在反函数?为什么?②在(-∞,+∞)上,正弦函数Y=sinX不存在反函数,那么我们本节课应该怎么样研究所谓的反正弦函数呢?③为了使正弦函数Y=sinX满足Y与X间成单值对应,这某一区间如何寻找,怎样的区间是最佳区间,为什么?讲授反余弦函数Y=cosX时,在完成了上述同样的三个步骤后,我们可向学生提出第四个问题:④反余弦函数Y=arccosX与反正弦函数Y=arcsinX在定义时有什么区别。造成这些区别的主要原因是什么,学习中应该怎样注意这些区别。通过这一系列的问题质疑,使学生对反正弦函数得到了创造性地理解与掌握。
(四)联想能力
联想的能力首先建立在对形式和质地的深刻把握,不局限于“形”,而在于“神” ,通过对本质的理解达到学科之间的融会。
例1:“已知a,b,m∈R+,并且a
①两点(b,a)、(-m,-m)的连线的斜率大于两点(b,a)、(0,0)的连线的斜率;②b个单位溶液中有a个单位溶质,其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度;③在数轴上的原点和坐标为1的点处,分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心,位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
例2:求值:sin210°+sin250°+sin10°sin50°
通过对结构形式的联想可以做这样处理:构造以1为直径的圆内接三角形,三个角分别为10°、50°、120°,则sin10°、sin50°、sin120°可构成三角形三边长。 逆用余弦定理:sin210°+sin250°2sin10°sin50°cos120°=sin2120°则原式的值等于3/4灵活的构想独特巧妙,将解题的精髓演绎得淋漓尽致。
(五)统摄能力
在数学解题教学中,我们要教育学生不能单纯的依靠定义、定理,而是吸收另一些习题的启示,拓宽思维的广度;在教学中启发学生逐步完成某个单元、章节或某些解题方法规律的总结,培养学生的思维统摄能力。
例:设a是自然数,但a不是5的倍数,求证:a1992―1能被5整除。
本题的结论给人的直观映象是进行因式分解。许多学生往往很难走下去。这时,我们可以引导学生进行深入地分析,努力寻找其它切实可行的办法。在这里,
思维的统摄能力很为重要。本题的最优化的解法莫过于将a1992写成(a4)498的形式,对a进行奇偶性的讨论:a为奇数时个位数字必为1;a为偶数时必为6。故a1992―1必为5的倍数。由此可知,灵感的产生,是思维统摄的必然结果。所以说,当我们引导学生站到知识结构的至高点时,他们就能把握问题的脉络,他们的思维就能够闪耀出创造性的火花!
(六) 发散能力
“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息,其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出,很可能会发生转换作用。”在高中教学中应该提倡用“解一题,会一类”来培养学生思维发散。
例:F1、F2 是椭圆的两个焦点,Q是椭圆上的任一点,从任一焦点向△F1QF2的顶点Q的外角平分线作垂线,垂足为P,点P的轨迹是曲线C的一部分,则曲线C是( )
A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
本题考查的是用几何法求轨迹,充分利用椭圆的第一定义,选A;之后,教师可启发学生:横向类比定义,双曲线中是否也有类似问题? 又作怎样的修改? 通过提示发散思维,自然过渡,通过一题多变,增进知识间联系,学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
在当前的数学教学中,普遍存在着比较重视集中思维的训练,而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的,用多种方法,能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向,能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径,能举一反三,触类旁通,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案。
笔者认为自由思维品质包含了思维的灵活性、广阔性、敏捷性、深刻性、独创性和批判性等多个方面。要培养学生思维的自由精神,首先必须转变我们教师的教学观念。现代教学理论认为向学生传授一定的基本理论和基础知识,是学科教学的重要职能,但不是唯一职能,在加强基础知识教学的同时,应该着重培养学生思维的自由意识,使思维突破“定向”、“模式”的束缚,不拘泥于书本所学、老师所教,鼓励学生科学的质疑、合理的“挑剔”。数学不仅追求真,还追求美、追求善。