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【摘要】概念教学是数学教学的重要组成部分。概念教学的关键是突出本质，重在理解，学会运用，最后形成数学素养。可以从以下几个方面进行概念的教学：一是追根溯源，厘清本质;二是选准基点，初步理解;三是多元表征，促进理解;四是立足成长，提升素养。
【关键词】概念 本质 理解 应用 素养
章建跃博士指出：数学根本上是教概念的，数学教师是玩概念的。数学概念是数学知识的“细胞”，是进行逻辑思维的第一要素。一切数学规则的研究、表达与应用都离不开数学概念。数学概念是构成数学“四基”“四能”教学的重要内容，又是数学学习的核心所在。概念课是小学数学教学中的一种主要课型，数学概念教学是课堂教学最重要的内容之一。那么如何科学、合理地进行概念内容的教学呢？本文以“倍的认识”教学为例，谈一些粗浅的认识。
一、追根溯源，厘清本质
美国著名的数学教育家赫斯认为：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”一般认为，数学知识的本质，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。数学教学教什么？毋庸置疑，摆在第一位的是教学内容的本质。
“倍的知识”在小学数学内容中有着十分重要的位置。荷兰著名数学家弗赖登塔尔指出：“数的概念的形成可以粗略地分成以下几种：计数的数、数量的数、度量的数和计算的数，其中所谓‘度量的数’，就好比用勺子一次次舀空装满水的容器那样，用一个单位去量那个量。”这里，量得的结果就得到一个“倍”数。换一个角度来看，在小学数学教学内容中，数的认识包括数的意义、数的表示、数与数之间的关系和数的应用，而数与数之间的关系既包括数与数之间的相差关系，也包括数与数之间的倍数关系。数与数之间的倍数关系贯穿于小学学习的全过程，具体体现在“份”“除法”“分数”“比”“百分数”等知识中。可见，对知识结构而言，“倍”具有“种子”的作用，其本质是否清晰、是否牢固将直接影响到其他相关概念及概念体系的建构。
二、选准基点，初步理解
“盲人摸象”的故事告诉我们，尽管盲人们有各种准确的信息，却不能正确地认识大象。因而如果教师要教学生认识大象，一定是把学生带到大象实体或者是大象的图片（影像）前，让他们有完整的认知。数学教学也应该这样：给学生一个现象，让他们接受完整而鲜活的数学信息。学生通过自己的信息采集和加工，从而形成的数学知识就是实在的也是容易牢固记忆的知识。
概念的引入有两种方式，即概念的形成和概念的同化。显然，“倍的知识”的教学属于概念形成的教学。在准确厘清概念的本质特征后，应该朝向概念的“全貌”、围绕“两个量的比较”展开，很好地引导学生经历概念的形成过程。方式一，教师可以设计“蓝花有2朵，红花有6朵”的情境，提问“可以提出哪些问题”，在学生提出“求和”“求差”两类数学问题之后，引出新的问题“除了比较多少，还有一种比较方法，今天我们就来学习这种特别的比较方法”，引导学生把“2朵蓝花”和“6朵红花”排成两行后，引导学习：“像这样把2朵蓝花圈起来看作1份（边说边圈），那红花就有这样的几份呢？”“蓝花有2朵，红花有3个2朵，我们就说红花的朵数是蓝花的3倍。”这样的教学可以直奔中心、简洁明快地帮助学生建立“倍”的概念。方式二，教师把教学“安放”在学生经验的“土壤”之中。“之前，你们听过或者在哪儿见过‘倍’吗？它是用来表示什么的呢？”继而，教师出示三幅图，让学生辨析：“哪一幅图可以表示红花的朵数是蓝花的3倍？”此時，学生可以充分调动自己的经验储备，试图对“3倍”进行辨析与解释，进而明晰：每幅图中都有“3”，只有第2幅表示的是3倍的关系，另两幅图都是相差3个;“3倍”的意义和第3幅图中每份“3个”的区别。
三、多元表征，促进理解
多元智能理论创始人加德纳认为：任何一个重要的、复杂的概念都可以运用多种方式来理解和表达。郑毓信教授则提出：应当帮助学生建立概念的多元表征，并根据需要与情境在表征的不同成分之间做出灵活的转换，使学生对数学概念有一个更深刻、更全面的认识与理解，培养学生思维的灵活性。
表征有不同的方式，可以是具体形象的，也可以是语词的或要领的。教师可以创造机会，较好地发挥表征在概念理解中的作用。比如，在学生理解了“倍”的基本含义之后，教师创设“请你摆一摆，要求摆出的红花的朵数是蓝花的2倍”“如果换成小棒呢？怎样摆使得第二行小棒的根数是第一行的2倍？”的教学情境，让学生自由创编，进而让学生明白：不管是不同颜色的花，还是小棒等不同的材料，也不管两者数量如何变化，只要把其中一种当作1份，另一种有两个这样的1份，那么，另一种的数量就是前一种数量的2倍。当然，我们的教学还可以再开放些，让学生“你能画出一个和图中不一样的‘2倍’吗？”，由于少了材料的限制，则显得更加开放与灵动。诚如波利亚所指出的那样：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面，创造过程中的数学，看起来像是一门实验性的归纳科学。可见，如上教学设计，学生对动手实践活动兴趣更浓，参与热情更高，体会更深刻，学习效果更突出。这充分表明，数学不仅是严谨的演绎，更是创造中的归纳。
四、立足成长，提升素养
“教学追求被吸引。”好的教学应该具有战略性的价值，也就是说，不仅仅让学生运用已学知识解决一些典型的问题，而且还要力求找寻知识的“附加值”，寻找知识的隐性教学功能，带领学生体会登高远眺、一览众山小的快感。
1.促理解进阶
儿童学习概念的初始阶段，或因固有经验中迷失概念的影响，或因概念非本质属性的干扰，常常会出现“依葫芦画瓢”的现象，所以适当而有意义的进阶训练变得非常重要。有一道“打球游戏”练习就很有特色：根据给出的条件，让学生说一说应该打掉哪种气球，打掉几个。如果判断正确就可以进入下一回合。第一次：黄气球的个数是红气球的2倍（呈现3个红气球，9个黄气球）;第二次：黄气球的个数是红气球的3倍（呈现3个红气球，6个黄气球）;第三次：红气球的个数比黄气球多2个（呈现2个红气球，6个黄气球）。像这样的练习就有效体现了基础性、精准性、深刻性与愉悦性等特点。
2.促思想孕育
每个数学知识都兼有事实性、概念性、方法性、价值性四个侧面。知识的事实性指人们在日常生活中的感悟和总结。没有概念去概括，客观的事实或现象只能是经验;没有方法去运用，概念或原理只能是词语符号;没有价值取向的揭示，方法只能是机械的步骤，而这种价值取向，更多地聚焦于揭示数学知识背后的灵魂——数学思想。“倍的认识”的教学，我们在事实性、概念性和方法性等方面做足文章的同时，在数学思想的渗透方面也做了一定的尝试。比如，通过多次变化比较双方数值的大小得出倍数，引导学生多次对比，从而明白倍数的含义，有机渗透了抽象的基本思想;围绕大问题，让学生进行自由表征，在多幅作品的对比中，使学生明晰，所谓倍数，就是一个数量包含了几个另一个数量，在“变与不变”的体验中，有机渗透了建模的基本思想;结合观察、表征、填空等环节，在两种数量对比过程中，要求有序摆放，体会上下对齐的优势，有机渗透了“一一对应”的思想。
【关键词】概念 本质 理解 应用 素养
章建跃博士指出：数学根本上是教概念的，数学教师是玩概念的。数学概念是数学知识的“细胞”，是进行逻辑思维的第一要素。一切数学规则的研究、表达与应用都离不开数学概念。数学概念是构成数学“四基”“四能”教学的重要内容，又是数学学习的核心所在。概念课是小学数学教学中的一种主要课型，数学概念教学是课堂教学最重要的内容之一。那么如何科学、合理地进行概念内容的教学呢？本文以“倍的认识”教学为例，谈一些粗浅的认识。
一、追根溯源，厘清本质
美国著名的数学教育家赫斯认为：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”一般认为，数学知识的本质，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。数学教学教什么？毋庸置疑，摆在第一位的是教学内容的本质。
“倍的知识”在小学数学内容中有着十分重要的位置。荷兰著名数学家弗赖登塔尔指出：“数的概念的形成可以粗略地分成以下几种：计数的数、数量的数、度量的数和计算的数，其中所谓‘度量的数’，就好比用勺子一次次舀空装满水的容器那样，用一个单位去量那个量。”这里，量得的结果就得到一个“倍”数。换一个角度来看，在小学数学教学内容中，数的认识包括数的意义、数的表示、数与数之间的关系和数的应用，而数与数之间的关系既包括数与数之间的相差关系，也包括数与数之间的倍数关系。数与数之间的倍数关系贯穿于小学学习的全过程，具体体现在“份”“除法”“分数”“比”“百分数”等知识中。可见，对知识结构而言，“倍”具有“种子”的作用，其本质是否清晰、是否牢固将直接影响到其他相关概念及概念体系的建构。
二、选准基点，初步理解
“盲人摸象”的故事告诉我们，尽管盲人们有各种准确的信息，却不能正确地认识大象。因而如果教师要教学生认识大象，一定是把学生带到大象实体或者是大象的图片（影像）前，让他们有完整的认知。数学教学也应该这样：给学生一个现象，让他们接受完整而鲜活的数学信息。学生通过自己的信息采集和加工，从而形成的数学知识就是实在的也是容易牢固记忆的知识。
概念的引入有两种方式，即概念的形成和概念的同化。显然，“倍的知识”的教学属于概念形成的教学。在准确厘清概念的本质特征后，应该朝向概念的“全貌”、围绕“两个量的比较”展开，很好地引导学生经历概念的形成过程。方式一，教师可以设计“蓝花有2朵，红花有6朵”的情境，提问“可以提出哪些问题”，在学生提出“求和”“求差”两类数学问题之后，引出新的问题“除了比较多少，还有一种比较方法，今天我们就来学习这种特别的比较方法”，引导学生把“2朵蓝花”和“6朵红花”排成两行后，引导学习：“像这样把2朵蓝花圈起来看作1份（边说边圈），那红花就有这样的几份呢？”“蓝花有2朵，红花有3个2朵，我们就说红花的朵数是蓝花的3倍。”这样的教学可以直奔中心、简洁明快地帮助学生建立“倍”的概念。方式二，教师把教学“安放”在学生经验的“土壤”之中。“之前，你们听过或者在哪儿见过‘倍’吗？它是用来表示什么的呢？”继而，教师出示三幅图，让学生辨析：“哪一幅图可以表示红花的朵数是蓝花的3倍？”此時，学生可以充分调动自己的经验储备，试图对“3倍”进行辨析与解释，进而明晰：每幅图中都有“3”，只有第2幅表示的是3倍的关系，另两幅图都是相差3个;“3倍”的意义和第3幅图中每份“3个”的区别。
三、多元表征，促进理解
多元智能理论创始人加德纳认为：任何一个重要的、复杂的概念都可以运用多种方式来理解和表达。郑毓信教授则提出：应当帮助学生建立概念的多元表征，并根据需要与情境在表征的不同成分之间做出灵活的转换，使学生对数学概念有一个更深刻、更全面的认识与理解，培养学生思维的灵活性。
表征有不同的方式，可以是具体形象的，也可以是语词的或要领的。教师可以创造机会，较好地发挥表征在概念理解中的作用。比如，在学生理解了“倍”的基本含义之后，教师创设“请你摆一摆，要求摆出的红花的朵数是蓝花的2倍”“如果换成小棒呢？怎样摆使得第二行小棒的根数是第一行的2倍？”的教学情境，让学生自由创编，进而让学生明白：不管是不同颜色的花，还是小棒等不同的材料，也不管两者数量如何变化，只要把其中一种当作1份，另一种有两个这样的1份，那么，另一种的数量就是前一种数量的2倍。当然，我们的教学还可以再开放些，让学生“你能画出一个和图中不一样的‘2倍’吗？”，由于少了材料的限制，则显得更加开放与灵动。诚如波利亚所指出的那样：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面，创造过程中的数学，看起来像是一门实验性的归纳科学。可见，如上教学设计，学生对动手实践活动兴趣更浓，参与热情更高，体会更深刻，学习效果更突出。这充分表明，数学不仅是严谨的演绎，更是创造中的归纳。
四、立足成长，提升素养
“教学追求被吸引。”好的教学应该具有战略性的价值，也就是说，不仅仅让学生运用已学知识解决一些典型的问题，而且还要力求找寻知识的“附加值”，寻找知识的隐性教学功能，带领学生体会登高远眺、一览众山小的快感。
1.促理解进阶
儿童学习概念的初始阶段，或因固有经验中迷失概念的影响，或因概念非本质属性的干扰，常常会出现“依葫芦画瓢”的现象，所以适当而有意义的进阶训练变得非常重要。有一道“打球游戏”练习就很有特色：根据给出的条件，让学生说一说应该打掉哪种气球，打掉几个。如果判断正确就可以进入下一回合。第一次：黄气球的个数是红气球的2倍（呈现3个红气球，9个黄气球）;第二次：黄气球的个数是红气球的3倍（呈现3个红气球，6个黄气球）;第三次：红气球的个数比黄气球多2个（呈现2个红气球，6个黄气球）。像这样的练习就有效体现了基础性、精准性、深刻性与愉悦性等特点。
2.促思想孕育
每个数学知识都兼有事实性、概念性、方法性、价值性四个侧面。知识的事实性指人们在日常生活中的感悟和总结。没有概念去概括，客观的事实或现象只能是经验;没有方法去运用，概念或原理只能是词语符号;没有价值取向的揭示，方法只能是机械的步骤，而这种价值取向，更多地聚焦于揭示数学知识背后的灵魂——数学思想。“倍的认识”的教学，我们在事实性、概念性和方法性等方面做足文章的同时，在数学思想的渗透方面也做了一定的尝试。比如，通过多次变化比较双方数值的大小得出倍数，引导学生多次对比，从而明白倍数的含义，有机渗透了抽象的基本思想;围绕大问题，让学生进行自由表征，在多幅作品的对比中，使学生明晰，所谓倍数，就是一个数量包含了几个另一个数量，在“变与不变”的体验中，有机渗透了建模的基本思想;结合观察、表征、填空等环节，在两种数量对比过程中，要求有序摆放，体会上下对齐的优势，有机渗透了“一一对应”的思想。