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【摘要】无穷递降法是费马为证明不定方程 无正整数解而创立的一种数学方法，无穷递降法大多用在不
定方程解的讨论上，本文通过若干例子阐述了无穷递降法在中学数学竞赛方面的应用。
【关键词】无穷递降法不定方程中学数学竞赛
【Abstract】 The method of infinite descent is Fermat’’s support of indefinite equation has
no positive integer solutions of the creation of a mathematical method of infinite descent
are mostly used in the Diophantine Equation discussion, this article through a number of
examples described infinite descent in Mathematics Competition of the application.
【Key words】The method of infinite descent；Indeterminate equation；Secondary School
Mathematics Competition
1. 无穷递降法的历史
1.1 无穷递降法的形成
1879年在Huygens的故纸堆中发现一个文件，其中叙述了一个著名的方法--无穷递降法（The method of
infinite descent），这是费马首创和应用的一个方法。著名的费马大定理：ｎ ｙｎ=ｚｎ ，ｎ≥3
时无正整数解，当 ｎ=4时由费马本人用较初等的方法给出了证明，这种方法为费马无穷递降法，无穷递
降法常用在不定方程无正整数解的论证上。
在费马与1640年12月5日给Marin Mersenne的信中所提的一个定理：形如 4ｎ 1的一个质数可能而且只能
以一种方式表达为两个平方数之和。例如17=16 1，29=25 4.应用这一方法时，我们要证，若有形如 的一
个质数并不具有所需性质，那就将有形如 4ｎ 1的一个较小的质数也不具有那个性质。于是，由于 ｎ是
任意的，所以还必须有一个更小的。这样通过 ｎ的正整数值往下推就必定能推導ｎ=1 ，从而推到质数 4
．1 1=5。于是5就不能具有所需性质。而由于5能以唯一的方式表达为两个平方数之和，因而每个形如 的
质数都能这样表达。
1.2 无穷递降法的形式
而费马无穷递降法一般有两种形式：
其一为：有一组解出发通过构造得出另一组解使得两组解之间有某种特定的关系而且这种构造可以无限重
复的从而得出矛盾。
其二为：假设方程有正整数解并从中选出"最小的解"设法构造出方程的另一组解比选出的"最小的解"还要
小因而导出矛盾。
无论哪种表现形式其基本思想是对一个问题若能从一种状态产生另一种状态并且有一个与状态有关的取正
整数值的量的严格减少就可以使用无穷递降法。关键是怎样构造"状态"，这当然就要视具体问题而定。
1.3 无穷递降法的原理
无穷递降法主要应用于涉及正整数的命题ｐ(ｎ)的证明。欲证明 ｐ(ｎ)对于一切正整数ｎ都不成立，可
以假设有一个正整数使命题成立，则根据正整数的良序原理必然有最小的正整数ｎ使命题 ｐ(ｎ)成立。
但另方面又可证明存在还有比ｎ 更小的正整数 ｋ使 ｐ(ｋ)成立，这就推出一个矛盾。从而使命题 ｐ(
ｎ)成立的正整数 ｎ是不存在的。
2. 无穷递降法在中学竞赛中的应用
2.1 证明不定方程无正整数解
2.2 用于关于整数的讨论
2.3 用于证明完全平方数
综上所述，结论成立。
2.4 用于无理数的判别
2.5 用于质数的讨论
如果你领悟了"费马无穷递降法"的奥妙，将发现"费马无穷递降法"和"数学归纳法"不同。它们走的是相反
的方向，数学归纳法从最小的正整数1检验起，逐步往大的正整数推，最后证明说有的正整数都成立"而费
马无穷递降法却从某个大的正整数做起，逐步往小的正整数导，最后得到矛盾。因此，"费马无穷递降法"
与"数学归纳法"实质上是相同东西的两面。但费马无穷递降法并不要求我们验证处哪怕是一个例子来说明
所说定理成立，因为我们可以根据 时的情况只会导出与某一其他已知结果相矛盾的这一事实，来作出论
断。还有，在对一个 值作了适当的假定后，这方法证明，还有一个较小的但未必是次小的 值，也能是所
作假定成立。最后一点是，这方法否定了某些论断，所以事实上它在这方面是更为有用的。
参考文献
［1］王云葵,周科. 关于丢番图方程 4±52 ｙ2 5ｙ4=ｚ2［J］.岳阳师范学院学报(自然科学版)
,2001,9(3):8-11.
［2］曹珍富.关于丢番图方程4 ｙ4=ｚｐ［J］.宁夏大学学报,1999,20(1):18221.
［3］王云葵.方程 ｐ ｙｐ =ｚ2与广义费尔马猜想［J］.广西民族学院学报,2001,7(4): 241.
［4］许秀珍,金永容。无穷递降法的应用［J］.安徽教育学院学报,2007.5(3):14-15.
［5］王丹华,杨海文,刘咏梅编.初等数论［M］,北京航空航天大学出版社,2008.
［6］加藤和也,黑川信重,斋藤毅编.数论I-Fermat的梦想和类域论 ［M］,高等教育出版社,2009.
［7］胡作玄.350年历程--从费尔马到维尔斯［M］山东教育出版社.1996.
［8］李心灿.费马 ，世界著名数学家传记［M］科学出版社.1995.
［9］华罗庚.数论导引［M］科学出版社.1979.
［10］柯召，J.Chinese Math.Soc.,2(1940),205-207.
［11］Kutsuna,M.,Mem.Gifu Nat.Coll.Tech.,20(1985),61-62.
定方程解的讨论上，本文通过若干例子阐述了无穷递降法在中学数学竞赛方面的应用。
【关键词】无穷递降法不定方程中学数学竞赛
【Abstract】 The method of infinite descent is Fermat’’s support of indefinite equation has
no positive integer solutions of the creation of a mathematical method of infinite descent
are mostly used in the Diophantine Equation discussion, this article through a number of
examples described infinite descent in Mathematics Competition of the application.
【Key words】The method of infinite descent；Indeterminate equation；Secondary School
Mathematics Competition
1. 无穷递降法的历史
1.1 无穷递降法的形成
1879年在Huygens的故纸堆中发现一个文件，其中叙述了一个著名的方法--无穷递降法（The method of
infinite descent），这是费马首创和应用的一个方法。著名的费马大定理：ｎ ｙｎ=ｚｎ ，ｎ≥3
时无正整数解，当 ｎ=4时由费马本人用较初等的方法给出了证明，这种方法为费马无穷递降法，无穷递
降法常用在不定方程无正整数解的论证上。
在费马与1640年12月5日给Marin Mersenne的信中所提的一个定理：形如 4ｎ 1的一个质数可能而且只能
以一种方式表达为两个平方数之和。例如17=16 1，29=25 4.应用这一方法时，我们要证，若有形如 的一
个质数并不具有所需性质，那就将有形如 4ｎ 1的一个较小的质数也不具有那个性质。于是，由于 ｎ是
任意的，所以还必须有一个更小的。这样通过 ｎ的正整数值往下推就必定能推導ｎ=1 ，从而推到质数 4
．1 1=5。于是5就不能具有所需性质。而由于5能以唯一的方式表达为两个平方数之和，因而每个形如 的
质数都能这样表达。
1.2 无穷递降法的形式
而费马无穷递降法一般有两种形式：
其一为：有一组解出发通过构造得出另一组解使得两组解之间有某种特定的关系而且这种构造可以无限重
复的从而得出矛盾。
其二为：假设方程有正整数解并从中选出"最小的解"设法构造出方程的另一组解比选出的"最小的解"还要
小因而导出矛盾。
无论哪种表现形式其基本思想是对一个问题若能从一种状态产生另一种状态并且有一个与状态有关的取正
整数值的量的严格减少就可以使用无穷递降法。关键是怎样构造"状态"，这当然就要视具体问题而定。
1.3 无穷递降法的原理
无穷递降法主要应用于涉及正整数的命题ｐ(ｎ)的证明。欲证明 ｐ(ｎ)对于一切正整数ｎ都不成立，可
以假设有一个正整数使命题成立，则根据正整数的良序原理必然有最小的正整数ｎ使命题 ｐ(ｎ)成立。
但另方面又可证明存在还有比ｎ 更小的正整数 ｋ使 ｐ(ｋ)成立，这就推出一个矛盾。从而使命题 ｐ(
ｎ)成立的正整数 ｎ是不存在的。
2. 无穷递降法在中学竞赛中的应用
2.1 证明不定方程无正整数解
2.2 用于关于整数的讨论
2.3 用于证明完全平方数
综上所述，结论成立。
2.4 用于无理数的判别
2.5 用于质数的讨论
如果你领悟了"费马无穷递降法"的奥妙，将发现"费马无穷递降法"和"数学归纳法"不同。它们走的是相反
的方向，数学归纳法从最小的正整数1检验起，逐步往大的正整数推，最后证明说有的正整数都成立"而费
马无穷递降法却从某个大的正整数做起，逐步往小的正整数导，最后得到矛盾。因此，"费马无穷递降法"
与"数学归纳法"实质上是相同东西的两面。但费马无穷递降法并不要求我们验证处哪怕是一个例子来说明
所说定理成立，因为我们可以根据 时的情况只会导出与某一其他已知结果相矛盾的这一事实，来作出论
断。还有，在对一个 值作了适当的假定后，这方法证明，还有一个较小的但未必是次小的 值，也能是所
作假定成立。最后一点是，这方法否定了某些论断，所以事实上它在这方面是更为有用的。
参考文献
［1］王云葵,周科. 关于丢番图方程 4±52 ｙ2 5ｙ4=ｚ2［J］.岳阳师范学院学报(自然科学版)
,2001,9(3):8-11.
［2］曹珍富.关于丢番图方程4 ｙ4=ｚｐ［J］.宁夏大学学报,1999,20(1):18221.
［3］王云葵.方程 ｐ ｙｐ =ｚ2与广义费尔马猜想［J］.广西民族学院学报,2001,7(4): 241.
［4］许秀珍,金永容。无穷递降法的应用［J］.安徽教育学院学报,2007.5(3):14-15.
［5］王丹华,杨海文,刘咏梅编.初等数论［M］,北京航空航天大学出版社,2008.
［6］加藤和也,黑川信重,斋藤毅编.数论I-Fermat的梦想和类域论 ［M］,高等教育出版社,2009.
［7］胡作玄.350年历程--从费尔马到维尔斯［M］山东教育出版社.1996.
［8］李心灿.费马 ，世界著名数学家传记［M］科学出版社.1995.
［9］华罗庚.数论导引［M］科学出版社.1979.
［10］柯召，J.Chinese Math.Soc.,2(1940),205-207.
［11］Kutsuna,M.,Mem.Gifu Nat.Coll.Tech.,20(1985),61-62.