构造函数法是数学中一种重要的解题方法，是通过对问题的观察、分析，恰当地构造函数模型来达到解题目的的方法，笔者试图通过一些典型试题的讲评，浅谈构造函数法的应用，供同行们所用。
　　1。构造函数法解不等式
　　我们知道，抽象不等式的求解一般是借助于函数的单调性完成的，根据题意巧妙地构造函数能使问题化繁为简，轻松解决。
　　例1 函数f（x）的定域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x） f′（x）>1，则不等式ex·f（x）>ex 1的解集为。
　　分析 exf（x）′=ex·f（x） ex·f′（x）=ex（f（x） f′（x））因而本问题应构造函数g（x）=ex·f（x） ex-1，问题转化为g（x）>0即可。
　　解 令g（x）=exf（x）-ex-1，则g（0）=e0f（0）-e0-1=0，且
　　g′（x）=exf（x） exf′（x）-ex=exf（x） f′（x）-1>0，因而g（x）在R上单调递增，g（x）>0=g（0），故x>0，不等式的解集为{x|x>0}。
　　2。构造函数法比较大小
　　例2 设函数f（x）是定义在[0，∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x） f（x）≤0，对任意的函数a，b，若a　　A。af（b）≤bf（a） B。bf（a）≤af（b）
　　C。af（a）≤f（b）D。bf（b）≤f（a）
　　分析 由xf′（x） f（x）≤0得，理应联想到xf（x）′≤0，从而应构造函数g（x）=xf（x），由g′（x）≤0得g（x）=xf（x）在[0，∞）上单调递减，又a　　观察A，B选项的结构可知，f（a）a和f（b）b的大小问题，再此联想到构造函数h（x）=f（x）x，则h′（x）=xf′（x）-f（x）x2，由xf′（x） f（x）≤0，f（x）≥0，得
　　xf′（x）≤0，xf′（x） f（x）≤0，所以h′（x）≤0，从而h（x）在[0，∞）上单调递减，又a0，b>0，故bf（a）≤af（b），选B。
　　本题巧妙地构造函数h（x）=f（x）x，从而利用函数的单调性比较了大小，此解法中构造函数h（x）=f（x）x是解决本题的关键。
　　3。构造函数法解决函数综合问题
　　例3 已知函数f（x）=1x-1，0　　1-1x，x≥1。
　　（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，1）和[1， ∞）上的单调性（不必证明）。
　　（Ⅱ）当0　　（Ⅲ）若存在实数a，b（1　　求实数m的取值范围。
　　解 （Ⅰ）f（x）在（0，1）上单调递减，（1， ∞）上单调递增。
　　（Ⅱ）由已知1a-1=1-1b，故1a 1b=2。
　　（Ⅲ）由（Ⅰ）得，f（x）在x∈[a，b]上单调递增，故f（x）∈1-1a，1-1b。
　　由题意得1-1a=ma，
　　1-1b=mb
　　即ma2-a 1=0（m>0），
　　mb2-b 1=0。
　　含g（x）=mx2-x 1（m>0），则a，b是g（x）的两个大于1的零点。
　　因而m>0，
　　Δ>0，
　　x=12m>1，
　　g（x）>0，
　　解得0　　解答（Ⅲ）的关键是构造函数g（x）=mx2-x 1（m>0），从而使问题等价转化为二次函数的零点问题。
　　4。构造函数法解决数列问题
　　例4 数列{an}满足a0=13，an=1 an[]2，n=1，2，3，…
　　证明：数列{an}是单调数列。
　　分析 对数列的递推关系an=1 an[]2，变形得到a2n=1 an-12，联想到三角函数的降幂公式cos2θn=1 cos2θn2，所以不妨令an=cosθn，an-1=cos2θn=cosθn-1，考虑数列θn是公比为12 的等比数列，故有以下解法。
　　解 令a0=cosθ=13，且θ∈（0，π2），又an=1 an-1[]2，所以有a1=cosθ2，a2=cosθ4，a3=cosθ8，…，an=cosθ2n，
　　又因为0<θ2n<θ2n-1<…<θ4<θ2<θ<π2，所以cosθ2n>cosθ2n-1>…>cosθ4>cosθ2>cosθ，即 an>an-1>…>a2>a1>a0，所以数列{an}是单调递增数列。
　　本文通过数列说明了构造函数法在解答数学问题中的重要性，有时巧妙地构造会使得问题变得更清晰和易于处理，思维新颖独特，过程简洁直观，其难点和关键是构造，这需要实践中不断地尝试和运用才能熟练掌握。