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在数学活动过程中，许多学生由于受某种思维定势的影响，对扩展的、变化的问题不理解，进而思维受阻，难以进展。因此教师在教学中要注重培养学生应用数学知识解决问题的能力，引导学生寻求解题方法。有时在教学中，我们可围绕重点教学内容，精心设计题组，通过不同角度、不同侧面、不同背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，沟通知识间的联系，启发学生解决一系列的问题，以达到对问题本质的深刻理解，进而掌握解题规律、巩固知识技能和锻炼数学思维。
一、化归题组
把同结构、同本质、同方法的题目“穿线联网”，或把表面上看似没有联系实则呈现同一隐像的多题归一，纵横联系，构建知识网络，使题与题之间建立“形散而神不散”的本质联系，其解题规律能自然得到呈现。这样的题组教学不仅能增强学生举一反三、触类旁通的应变能力，也能有效地训练学生思维的广阔性和灵活性。
例1 （1）在直线l上有A，B，C，D，E五个不同的点，则此直线l上共有多少条线段？
（2）汽车从A站到E站途中要经过B，C，D三个站点，相邻两站之间的票价不同，则一共有多少种不同的票价？
（3）在锐角∠AOE内部有三条不同的射线OB，OC，OD，试问此图中共有多少个不同的锐角？
（4）5条直线两两相交，最多出现多少个交点？
（5）七年级5个班级进行单循环篮球比赛，共需安排多少场比赛？
（6）平面上有5个点，其中任意三点都不共线，现在任取两点作直线，最多能作多少条直线？
（7）同一平面内有5条直线，则这些直线最多把这个平面分成了几部分？
（8）参加一个研讨会的人见面时都要握手问好，如果一个人都和其他所有人握过一次手，一共握手28次，那么有多少人参加了会议？
此问题串具有强凝聚力，把不同知识点串起来，通过整体呈现、整体比较，丰富知识内涵，从而构建经验系统。把分散的知识点串成一条线，可以使学生将知识前后联系，并能从整体上去掌握知识，同时打破思维定势，领悟知识与方法的内在联系，拓展思路，培养创新意识。
例2 已知直线l的解析式是y=2x+6，与x轴、y轴分别交于A，B两点。
求：（1）直线l与两坐标轴的交点坐标;（2）直线l与两坐标轴围成的△AOB的面积。
[变式1] 已知直线l1经过A（-3，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l1的解析式。
练习1 过点O的直线l1交直线l于点P，若直线l1把△AOB的面积分为1∶2两部分，求直线l1的解析式。
[变式2] 过点O的直线l2交直线l于点Q，若直线l2、直线l与坐标轴所围成的三角形面积为△AOB的面积的一半，求直线l2的解析式。
练习2 过点O的直线l2交直线l于点R，若直线l2、直线l与坐标轴所围成的三角形面积为△AOB的面积的三分之一，求直线l2的解析式。
[变式3] 以AO，AB为邻边的平行四边形AOCB，若直线l3过△AOB的顶点，且把平行四边形AOCB的面积分为1∶2两部分，求直线l3的解析式。
练习3 以AO，BO为相邻两边的长方形AOBC，若直线l3过△AOB的顶点，且把长方形AOBC的面积分为1∶2两部分，求直线l3的解析式。
变式1的跟进使学生对这类问题的掌握更加扎实，且容易克服思维的负迁移，再次体悟几何直观在问题解决中的重要性。变式2由“一半”到“三分之一”，是由特殊到一般的过渡，虽然解的个数增加了，但解决问题的方法不变，找到剖分△AOB的面积为三分之一的两条直线是关键。变式3把三角形与平行四边形有机地结合起来，进一步丰富了学生解决问题的经验，把四边形问题转化为三角形问题解决，这是数学中常用的转化思想。
二、类比题组
此类题组，通过对比分析异同，然后举一反三归类迁移。 具体可以收集平时学生作业本里和试卷上易犯错的题，汇编成组，查漏补缺填补知识上的空缺。
例3 若等腰三角形的底角是80°，则其顶角是 度;若等腰三角形的顶角是80°，则其底角是 度;若等腰三角形中有一个角是90°，则其底角是 度;若等腰三角形中有一个角是100°，则其底角是 度;若等腰三角形中有一个角是80°，则其底角是 度;若等腰三角形中有两个角之比为4∶1，则其底角是 度;在等腰△ABC中，∠B=80°，则∠C= 度。
最后一问容易错解成只有两个答案，其实应按∠A，∠B，∠C分别为顶角可得三个答案。此大题通过观察求解，让学生比较、发现、寻找问题之间的相同点和差异感，形成现场的反差，有助于培养学生思维的批判性，突破思维定式或常见误区。
例4 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，以点C为圆心，4.8为半径的圆与线段AB的位置关系是 。
解：设⊙O的半径为r，
当08时，⊙O与线段AB没交点;
当 4.8
当r=4.8或6
此题以圆为载体，通过真正搞清半径的大小意识，以增强学生的观察能力、分析能力，培养学生的全面思维能力。著名数学教育家波利亚形象地指出：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地成长，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”因此，我们在数学教学活动中，不能仅是就题论题，孤立解题，而应对试题进行适当的变动，将一个静态的、封闭的试题从不同角度、不同层次、不同侧面出发变化为一个动态的、开放的试题。 三、递进题组
此类题组着眼于数学活动的有层次推进，它既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。在数学教学中，教师可搭建合适的“脚手架”，通过对数学学习对象动态的、内在的、有层次性的递进，让学生分步解决问题，并在解决问题的过程中积累多种活动经验，从而提升数学思维和解题能力。
（一）采用“典型方法式”题组教学巩固知识和技能
例5 如图1，双曲线的图象交矩形ODMC的边CM，MD于点A，B，若点A是CM的中点，请问点B是DM的中点吗？你能用几种方法说明呢？若点A是边CM上任意点呢？
解：连结OA，OB，通过△AOC与△OBD的面积相等，得到CA×OC=DB×OD且OC=DM，CM=OD，从而得到。
[问题一] 如图2，正方形ABCD的边AB在x 轴的正半轴上，C（2，1），D（1，1），反比例函数y=的图象与边BC交于点E，与边CD交于点F。已知BE∶CE=3∶1，则DF∶FC等于 。（利用基本图形构造法，延长CD交y轴于点G，由图1基本结论得）
[问题二] 如图3，双曲线y=的图象经过Rt△OMN 斜边上的点A，与直角边MN 相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是 。（通过A作x轴的平行线交y轴于点C，交MN于点D，构建△AOC与△AND成相似三角形，且相似比是2∶1）
问题三：如图4，反比例函数y=（k>0）的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，点A，B在坐标轴上，若点C的坐标为（1，3），则矩形ABCD的面积为 。（可按如图5添辅助线构造基本图形，得到△BCE与△AGD全等）
[问题四] 如图6，等腰Rt△ABC顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x>0）的图象分别与AB，BC交于点D，E。△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 。（如图7，通过D作x轴的平行线交y轴于点G，交BC于点F。）
[问题五] 如图8，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E，F。过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C。若=（m为大于l的常数）。记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则=________。（用含m的代数式表示）
基本图形是指组成一个几何问题的最简单、最重要、最基本但又是具有特定性质的图形，如图9就是构造相似三角形的基本图形之一。教师应重视基本图形，并加以整理、挖掘、探究和延伸。 这样有助于学生理解和掌握基础知识与技能，培养数学思想方法，发展思维与能力。
（二）采用“专题拓展式”题组教学提升解题能力
例6 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。
（1）如图10，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长。
（2）如图11，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
（3）如图12，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
（4）如图13，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
[变式1] 如图14，在直线y=-x+60与x轴，y轴所围成的△AOB中，依次放入腰长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个等腰直角三角形，则x1= ，xn = 。
[变式2] 如图15，在直线y=-x+60与x轴，y轴所围成的△AOB中，依次放入边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个等边三角形，试猜想第n个等边三角形的边长。
[变式3] 如图16，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）在函数y=（x>0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等边三角形，边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上。求：（1）点P1的坐标;（2）y1+y2+y3+…+yn的和。
[变式4] 二次函数y=x2的图象如图17，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2008 在二次函数y=x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B2A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长= 。
这样的教学，通过一个问题的变式，解决一类问题，从而展示知识的发生、发展，形成完整的认知过程，逐步养成学生深入反思数学问题的习惯。教师要引导学生善于抓住数学问题的本质和规律，使非本质的属性不断迁移，探索相关数学问题的内在联系以及外延关系，培养学生的创新思维能力。典型的基本图形具有较强的示范性、知识性和可变性。通过对其挖掘，再纵向拓展，横向联系，深刻领会这些基本图形，可以提升解决问题的思维起点。
课堂是师生的相遇之地，是教学相长的广阔田野。数学的心脏是问题，因此数学教学必须通过解决问题组织教学活动，而题组教学是一种典型的表现。在课堂教学中，为了达到某一教学目的，教师要根据学生的认知规律，通过整体呈现、整体比较、整体掌握的方式，促使学生系统地掌握知识。这种方法要求在教学过程中，除了解决单个数学问题，通常还要连续解决几个前后有联系的问题。精心设计题组教学会在数学教学的各个阶段起到不可替代的作用，它能调动学生积极地思考问题、分析问题、解决问题。所以教师要重积累、重学习、重思考，真正起到助长课堂智慧的引领作用。
一、化归题组
把同结构、同本质、同方法的题目“穿线联网”，或把表面上看似没有联系实则呈现同一隐像的多题归一，纵横联系，构建知识网络，使题与题之间建立“形散而神不散”的本质联系，其解题规律能自然得到呈现。这样的题组教学不仅能增强学生举一反三、触类旁通的应变能力，也能有效地训练学生思维的广阔性和灵活性。
例1 （1）在直线l上有A，B，C，D，E五个不同的点，则此直线l上共有多少条线段？
（2）汽车从A站到E站途中要经过B，C，D三个站点，相邻两站之间的票价不同，则一共有多少种不同的票价？
（3）在锐角∠AOE内部有三条不同的射线OB，OC，OD，试问此图中共有多少个不同的锐角？
（4）5条直线两两相交，最多出现多少个交点？
（5）七年级5个班级进行单循环篮球比赛，共需安排多少场比赛？
（6）平面上有5个点，其中任意三点都不共线，现在任取两点作直线，最多能作多少条直线？
（7）同一平面内有5条直线，则这些直线最多把这个平面分成了几部分？
（8）参加一个研讨会的人见面时都要握手问好，如果一个人都和其他所有人握过一次手，一共握手28次，那么有多少人参加了会议？
此问题串具有强凝聚力，把不同知识点串起来，通过整体呈现、整体比较，丰富知识内涵，从而构建经验系统。把分散的知识点串成一条线，可以使学生将知识前后联系，并能从整体上去掌握知识，同时打破思维定势，领悟知识与方法的内在联系，拓展思路，培养创新意识。
例2 已知直线l的解析式是y=2x+6，与x轴、y轴分别交于A，B两点。
求：（1）直线l与两坐标轴的交点坐标;（2）直线l与两坐标轴围成的△AOB的面积。
[变式1] 已知直线l1经过A（-3，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l1的解析式。
练习1 过点O的直线l1交直线l于点P，若直线l1把△AOB的面积分为1∶2两部分，求直线l1的解析式。
[变式2] 过点O的直线l2交直线l于点Q，若直线l2、直线l与坐标轴所围成的三角形面积为△AOB的面积的一半，求直线l2的解析式。
练习2 过点O的直线l2交直线l于点R，若直线l2、直线l与坐标轴所围成的三角形面积为△AOB的面积的三分之一，求直线l2的解析式。
[变式3] 以AO，AB为邻边的平行四边形AOCB，若直线l3过△AOB的顶点，且把平行四边形AOCB的面积分为1∶2两部分，求直线l3的解析式。
练习3 以AO，BO为相邻两边的长方形AOBC，若直线l3过△AOB的顶点，且把长方形AOBC的面积分为1∶2两部分，求直线l3的解析式。
变式1的跟进使学生对这类问题的掌握更加扎实，且容易克服思维的负迁移，再次体悟几何直观在问题解决中的重要性。变式2由“一半”到“三分之一”，是由特殊到一般的过渡，虽然解的个数增加了，但解决问题的方法不变，找到剖分△AOB的面积为三分之一的两条直线是关键。变式3把三角形与平行四边形有机地结合起来，进一步丰富了学生解决问题的经验，把四边形问题转化为三角形问题解决，这是数学中常用的转化思想。
二、类比题组
此类题组，通过对比分析异同，然后举一反三归类迁移。 具体可以收集平时学生作业本里和试卷上易犯错的题，汇编成组，查漏补缺填补知识上的空缺。
例3 若等腰三角形的底角是80°，则其顶角是 度;若等腰三角形的顶角是80°，则其底角是 度;若等腰三角形中有一个角是90°，则其底角是 度;若等腰三角形中有一个角是100°，则其底角是 度;若等腰三角形中有一个角是80°，则其底角是 度;若等腰三角形中有两个角之比为4∶1，则其底角是 度;在等腰△ABC中，∠B=80°，则∠C= 度。
最后一问容易错解成只有两个答案，其实应按∠A，∠B，∠C分别为顶角可得三个答案。此大题通过观察求解，让学生比较、发现、寻找问题之间的相同点和差异感，形成现场的反差，有助于培养学生思维的批判性，突破思维定式或常见误区。
例4 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，以点C为圆心，4.8为半径的圆与线段AB的位置关系是 。
解：设⊙O的半径为r，
当08时，⊙O与线段AB没交点;
当 4.8
当r=4.8或6
此题以圆为载体，通过真正搞清半径的大小意识，以增强学生的观察能力、分析能力，培养学生的全面思维能力。著名数学教育家波利亚形象地指出：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地成长，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”因此，我们在数学教学活动中，不能仅是就题论题，孤立解题，而应对试题进行适当的变动，将一个静态的、封闭的试题从不同角度、不同层次、不同侧面出发变化为一个动态的、开放的试题。 三、递进题组
此类题组着眼于数学活动的有层次推进，它既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。在数学教学中，教师可搭建合适的“脚手架”，通过对数学学习对象动态的、内在的、有层次性的递进，让学生分步解决问题，并在解决问题的过程中积累多种活动经验，从而提升数学思维和解题能力。
（一）采用“典型方法式”题组教学巩固知识和技能
例5 如图1，双曲线的图象交矩形ODMC的边CM，MD于点A，B，若点A是CM的中点，请问点B是DM的中点吗？你能用几种方法说明呢？若点A是边CM上任意点呢？
解：连结OA，OB，通过△AOC与△OBD的面积相等，得到CA×OC=DB×OD且OC=DM，CM=OD，从而得到。
[问题一] 如图2，正方形ABCD的边AB在x 轴的正半轴上，C（2，1），D（1，1），反比例函数y=的图象与边BC交于点E，与边CD交于点F。已知BE∶CE=3∶1，则DF∶FC等于 。（利用基本图形构造法，延长CD交y轴于点G，由图1基本结论得）
[问题二] 如图3，双曲线y=的图象经过Rt△OMN 斜边上的点A，与直角边MN 相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是 。（通过A作x轴的平行线交y轴于点C，交MN于点D，构建△AOC与△AND成相似三角形，且相似比是2∶1）
问题三：如图4，反比例函数y=（k>0）的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，点A，B在坐标轴上，若点C的坐标为（1，3），则矩形ABCD的面积为 。（可按如图5添辅助线构造基本图形，得到△BCE与△AGD全等）
[问题四] 如图6，等腰Rt△ABC顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x>0）的图象分别与AB，BC交于点D，E。△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 。（如图7，通过D作x轴的平行线交y轴于点G，交BC于点F。）
[问题五] 如图8，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E，F。过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C。若=（m为大于l的常数）。记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则=________。（用含m的代数式表示）
基本图形是指组成一个几何问题的最简单、最重要、最基本但又是具有特定性质的图形，如图9就是构造相似三角形的基本图形之一。教师应重视基本图形，并加以整理、挖掘、探究和延伸。 这样有助于学生理解和掌握基础知识与技能，培养数学思想方法，发展思维与能力。
（二）采用“专题拓展式”题组教学提升解题能力
例6 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。
（1）如图10，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长。
（2）如图11，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
（3）如图12，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
（4）如图13，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
[变式1] 如图14，在直线y=-x+60与x轴，y轴所围成的△AOB中，依次放入腰长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个等腰直角三角形，则x1= ，xn = 。
[变式2] 如图15，在直线y=-x+60与x轴，y轴所围成的△AOB中，依次放入边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个等边三角形，试猜想第n个等边三角形的边长。
[变式3] 如图16，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）在函数y=（x>0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等边三角形，边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上。求：（1）点P1的坐标;（2）y1+y2+y3+…+yn的和。
[变式4] 二次函数y=x2的图象如图17，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2008 在二次函数y=x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B2A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长= 。
这样的教学，通过一个问题的变式，解决一类问题，从而展示知识的发生、发展，形成完整的认知过程，逐步养成学生深入反思数学问题的习惯。教师要引导学生善于抓住数学问题的本质和规律，使非本质的属性不断迁移，探索相关数学问题的内在联系以及外延关系，培养学生的创新思维能力。典型的基本图形具有较强的示范性、知识性和可变性。通过对其挖掘，再纵向拓展，横向联系，深刻领会这些基本图形，可以提升解决问题的思维起点。
课堂是师生的相遇之地，是教学相长的广阔田野。数学的心脏是问题，因此数学教学必须通过解决问题组织教学活动，而题组教学是一种典型的表现。在课堂教学中，为了达到某一教学目的，教师要根据学生的认知规律，通过整体呈现、整体比较、整体掌握的方式，促使学生系统地掌握知识。这种方法要求在教学过程中，除了解决单个数学问题，通常还要连续解决几个前后有联系的问题。精心设计题组教学会在数学教学的各个阶段起到不可替代的作用，它能调动学生积极地思考问题、分析问题、解决问题。所以教师要重积累、重学习、重思考，真正起到助长课堂智慧的引领作用。