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【摘要】文章尝试运用高等数学中的基础理论讨论几个生物医学数学实例，激发学生用所学数学知识去解决实际问题的兴趣，以此提高教学效果，培养学生的创新精神和创新能力、提高学生的科研素质。
【关键词】高等数学数学模型数学实例
【基金项目】2011年广州医科大学教育科学规划课题，项目编号L129008；中华医学会2012年度医学教育研究课题，项目编号2012-KY-20。
【中图分类号】G424 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0148-02
针对医学院校设置的专业情况，改进和更新数学课程的教学内容，充分利用课内、课外时间介绍数学模型以及数学建模的思想和方法，将数学建模的知识穿插到相应章节中，选择合适的数学实例提出问题，引导学生以小组协作的方式分析问题和解决问题，培养学生的学习兴趣，打消学生“学习高等数学不能解决实际问题”的想法，将数学与生物医学能有机地结合起来，激发学生用所学数学知识去解决实际问题的兴趣，以适应现代生物医学飞速发展的需要，从而进一步培养学生的创新精神和创新能力、提高学生的科研素质，促进团结协作精神。本文尝试运用高等数学中的基础理论讨论几个生物医学数学实例，以此提高学生学习高等数学的兴趣和教学效果。在授课时可结合课时的多少，精选相关的模型进行介绍。
1. Logistic人口增长模型[1]
多数数学建模问题中都离不开微分方程，如简谐振动问题、种群增长问题、铁轨弯道处缓和曲线等。1838年，荷兰生物数学家Verhulst给出Logistic模型，也叫阻滞增长模型，它在许多领域中有着广泛的应用，如树木生长规律、人口增长规律、新商品的销售规律等，都可以用该方程来描述。logistic用途极为广泛，logistic已经成了流行病学和医学中最常用的分析方法，主要常用的情形是探索某疾病的危险因素，依此预测某疾病发生的概率。在讲授微分方程的内容给学生后，可以介绍人口增长模型。
Logistic人口增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型（malthus模型）的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在人口增长率r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数，则它应是减函数。于是有：
■=r(x)x，x(0)=x0 (1)
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即:
r(x)=r-sx(r>0,s>0) (2)
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为xm，当xm=x时人口不再增长，即增长率r(xm)=0，代入（2）式得s=■，于是（2）式为
r(x)=r(1-■) (3)
将（3）代入方程（1）得：
■=rx(1-■) (4)
x(0)=x0
上述方程为可分离变量方程，解方程（4）可得：
x(t)=■(5)
介绍模型后，再结合我国的历史人口数据或世界历史人口数据并运用MATLAB软件进行实践（对历史数据进行检验和对未来人口进行预测），可加深学生对数学知识的应用的印象，让学生体会到数学知识的实用性。例如，据生物学家估计r=0.029，我们根据1961年世界人口总数为30.60亿及1990年的世界人口为52.77亿，可以算得xm=117.12亿。然后用MATLAB画图对上述模型进行检验，可以看出，(5)式能较好地描述世界人口总数随时间变化的规律，由此可以预测2020年世界人口总数为77.52亿。[2]
随着社会的进步和科学技术的发展，如果人类可以改善生存环境，自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量就会发生变化，上述模型也会变得不能够正确地反映世界人口的变化规律，事实上，反映实际问题的数学模型大部分是很复杂的，不容易甚至不可能得到精确解，而从实际应用的角度出发，在数学建模过程中则要对实际问题进行合理的简化，分清主次。
根据医学院校开设的不同专业，在微分方程这里可选择不同的数学模型进行介绍，例如临床医学专业可2介绍细菌的繁殖、传染病模型、药物动力学模型、肿瘤生长模型、种群增长问题等，生物医学工程专业可介绍简谐振动问题、降落伞的运动规律，通过一些精选的数学建模问题进一步阐明数学的实用性。
2.染料稀释法确定心输出量
考虑到医学院校大部分专业开设的高数课程学时较少，对数学模型的介绍也可选择一些较简短的例子，只要能起到促进学生主动学习的作用以及提高学习兴趣即可。例如在介绍了定积分内容后，可介绍染料稀释法确定心输出量的方法原理[3]。
心输出量是指每分钟心脏泵出的血量，在生理学实验中常用染料稀释法来测定。把一定量的染料注入静脉，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，再返回心脏而进入动脉系统。
假定在时刻t=0时注入 5mg的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中染料的浓度，它是时间的函数c(t)： c(t)= 0当0≤t≤3或18
■(t)=■■c(t)dt
=■■(t3-40t2+453t-1026)10-2dt
=■(■-■+■-1026t)■■
=■[3402-(-1379.25）]
=1.59375
从而得到每分钟的心输出量Q=■=■≈6.275（L/min)。
染料稀释法确定心输出量可用于讨论慢性阻塞性肺部疾病心功能等医学方面的研究。如果课时充裕，在定积分这里还可介绍脉管稳定流动时的血流量的测定、胰岛素平均浓度的测定等。
3.感冒药效的概率
概率论与统计方法是临床医学实践与研究的重要工具，广泛应用于医学统计、卫生统计、流行病学等方面。离散型随机变量分布中的泊松分布在生物医学中用于描述和分析随机地发生在单位时间或空间里的稀有事件的概率分布。例如讨论野外单位空间中的某种昆虫数，放射性物质在单位时间内的放射次数，生多胞胎的例数，单位时间来到医院看病的人数等。介绍了泊松分布的理论知识后，可向学生介绍泊松分布的实际应用的例子，以加深对知识点的理解，同时也提高学生应用数学讨论实际问题的能力。如感冒药效的概率：
假设一个人在一年里的感冒次数近似服从参数为5的泊松分布。一种抗感冒的新药新近上市，若持续服用，■的服用者每年的感冒次数降为参数为3的泊松分布，■的服用者没有作用。有一个人在一年里持续服用此药，共感冒了两次。问题：求该药对此人有效的概率。[3]
记?孜为一年里此人的感冒次数，用A表示事件{该药对此人有效，即?姿=3}，用B表示事件{?孜≤2}，那么A的对立事件■表示{该药对此人无效，即?姿=5}，则
P（A）=0.75，P（■）=0.25
P(B｜A）=■■e-λ=(1+3+■）e-3=0.423190 P(B｜■）=■■e-λ=(1+5+■)e-5=0.124652 从而 P(B)=P（A） P(B｜A）+P(■） P(B｜■） ＝0.75×0.423190＋0.25×0.124652 =0.348555 因此该药对此人有效的概率为 P(A｜B）=■=■=0.910595 利用这个例子既说明了泊松分布在医学上的应用，又对全概率公式和条件概率公式做了复习。 最后，在教学实践中，教师可以了解一些相关专业知识，根据数学理论知识的内容特点及学生所学专业，选择学生所熟悉或将来要从事的相关专业案例或贴近日常生活有趣味性的数学案例与模型，在教学过程中渗透使用数学和应用数学的思想，引导学生用数学方法解决实际问题，让学生明白并非是简单的学习数学概念，更是为以后的工作、学习、科研服务。 参考文献： [1]杨启帆.数学建模[M].第1版.北京:高等教育出版社，2005. [2]李长青，吴伟志，张野芳.在高等数学教学中引入数学建模思想的探索与实践. 浙江海洋学院学报(自然科学版), 2011,30（3）:269-274. [3]张选群.医用高等数学[M]. 第5版.北京：人民卫生出版社，2011. 作者简介： 魏悦姿（1978-），女，广东揭阳人，广州医科大学生物医学工程系副教授、硕士，研究方向：应用数学，数学教育学院。