论文部分内容阅读
人们通常所说的美以自然美,社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形态而存在.数学美是自然美的客观反映,是科学美的核心.普洛克拉斯断言:“哪里有数,哪里就有美.”数学美不是虚无飘缈的,其无处不在.人类追求数学美,其实就是对数学真理的追求,这种追求将代代相传,是人类一个永恒的追求目标.
作为教师,我们的职责是将数学美充分的展示给学生,通过教学使学生感受数学知识的内在美,诸如数字美、符号美、构图美等,培养和提高学生的审美能力,培养学生对数学知识美的热爱,通过学生的“内化”,逐步迁移为对数学知识的热爱和追求,从而激发学生学习数学的热情,陶冶他们的数学情操,提高他们的数学素养.本文将介绍数学美学方法在三角恒等变换中的应用，展示数学之美.
三角恒等变换公式本身就是美的.其中有正、余弦的对应，两角正切的对称等.
例1 求值:cos20°cos40°cos60°cos80°.
分析1:上式由四个排列整齐的余弦值组成,角度逐渐增大,且后一角均比前一个角大20°.此式体现了数学的和谐美.在求解时我们可以利用二倍角的正弦公式,将分子分母同乘以2sin20°,然后我们会得到一连串意想不到的“连锁反应”，从而进一步映衬出数学的和谐美.
解:原式=2sin20°cos20°cos40°cos60°cos80°2sin20°
=sin40°cos40°cos60°cos80°2sin20°
=sin80°cos80°cos60°4sin20°
=sin160°cos60°8sin20°
=sin20°•128sin20°=116.
例2 求值:(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°).
分析:所求式体现了数学的形式美.我们不难发现:1°+44°=2°+43°=…=22°+23°=45°.美的直觉告诉我们(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=1+tan45°=2.事实上，当α+β=45°时，我们不难得到(1+tanα)(1+tanβ)＝２．所以我们采用重新组合的解题策略.
解：当α+β=45°时，
(1+tanα)(1+tanβ)=（１＋tanα)［1+tan(45°-α)］
=(1+tanα)1+tan45°-tanα1+tan45°tanα
=(1+tanα)1+1-tanα1+tanα
=1+tanα+1-tanα=2.又1+tan45°=2,
∴原式=222×2=223.
例3 在斜三角形ABC中,求证:
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(*)
分析一:在待证式中,角A、B、C地位均等，具有对称美.由三角形内角和为π,得A+B=π-C,对其两边取正切值.然后利用两角和的正切公式:tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ(α,β使得等式两边都有意义)以及诱导公式进行展开.
证法一:∵A+B+C=π,且△ABC是斜三角形∴A+B=π-C,且A、B、π-C均不为π2.
∴有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,即tanA+tanB1-tanAtanB=-tanC.
去分母,得
tanA+tanB=-tanC+tanCtanAtanB.
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
分析二:两角和正切公式可变形为:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).
故我们可以从待证式的左边入手.
证法二:左边=(tanA+tanB)+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC
=tan(π-C)(1-tanAtanB)+tanC
=-tanC(1-tanAtanB)+tanC
=-tanC+tanCtanAtanB+tanC=tanAtanBtanC=右边.
(*)式可以推广:tannA+tannB+tannC=tannAtannBtannC,n∈Z.(**)
(*)式和(**)式是两个优美的三角恒等式,在结构上均由正切的和与积构成,所以可以得到证明的思路,从中我们体会到了对称的美与成功.正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着.”
数学之美,还可以从更多的角度去审视,而每一侧面的美都不是孤立的,她们是相辅相成,密不可分的.她需要人们用心,用智慧深层次地去挖掘,更好地体会她的美学价值和它丰富、深遂的内涵和思想.在数学教学中,要充分挖掘数学美的因素,引导学生对美的追求,使他们摆脱“苦学”的束缚，走入“乐学”的天地.正如罗素所说：“数学，如果正确地看它,不但拥有真理,而且有至高的美.”
作为教师,我们的职责是将数学美充分的展示给学生,通过教学使学生感受数学知识的内在美,诸如数字美、符号美、构图美等,培养和提高学生的审美能力,培养学生对数学知识美的热爱,通过学生的“内化”,逐步迁移为对数学知识的热爱和追求,从而激发学生学习数学的热情,陶冶他们的数学情操,提高他们的数学素养.本文将介绍数学美学方法在三角恒等变换中的应用，展示数学之美.
三角恒等变换公式本身就是美的.其中有正、余弦的对应，两角正切的对称等.
例1 求值:cos20°cos40°cos60°cos80°.
分析1:上式由四个排列整齐的余弦值组成,角度逐渐增大,且后一角均比前一个角大20°.此式体现了数学的和谐美.在求解时我们可以利用二倍角的正弦公式,将分子分母同乘以2sin20°,然后我们会得到一连串意想不到的“连锁反应”，从而进一步映衬出数学的和谐美.
解:原式=2sin20°cos20°cos40°cos60°cos80°2sin20°
=sin40°cos40°cos60°cos80°2sin20°
=sin80°cos80°cos60°4sin20°
=sin160°cos60°8sin20°
=sin20°•128sin20°=116.
例2 求值:(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°).
分析:所求式体现了数学的形式美.我们不难发现:1°+44°=2°+43°=…=22°+23°=45°.美的直觉告诉我们(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=1+tan45°=2.事实上，当α+β=45°时，我们不难得到(1+tanα)(1+tanβ)＝２．所以我们采用重新组合的解题策略.
解：当α+β=45°时，
(1+tanα)(1+tanβ)=（１＋tanα)［1+tan(45°-α)］
=(1+tanα)1+tan45°-tanα1+tan45°tanα
=(1+tanα)1+1-tanα1+tanα
=1+tanα+1-tanα=2.又1+tan45°=2,
∴原式=222×2=223.
例3 在斜三角形ABC中,求证:
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(*)
分析一:在待证式中,角A、B、C地位均等，具有对称美.由三角形内角和为π,得A+B=π-C,对其两边取正切值.然后利用两角和的正切公式:tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ(α,β使得等式两边都有意义)以及诱导公式进行展开.
证法一:∵A+B+C=π,且△ABC是斜三角形∴A+B=π-C,且A、B、π-C均不为π2.
∴有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,即tanA+tanB1-tanAtanB=-tanC.
去分母,得
tanA+tanB=-tanC+tanCtanAtanB.
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
分析二:两角和正切公式可变形为:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).
故我们可以从待证式的左边入手.
证法二:左边=(tanA+tanB)+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC
=tan(π-C)(1-tanAtanB)+tanC
=-tanC(1-tanAtanB)+tanC
=-tanC+tanCtanAtanB+tanC=tanAtanBtanC=右边.
(*)式可以推广:tannA+tannB+tannC=tannAtannBtannC,n∈Z.(**)
(*)式和(**)式是两个优美的三角恒等式,在结构上均由正切的和与积构成,所以可以得到证明的思路,从中我们体会到了对称的美与成功.正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着.”
数学之美,还可以从更多的角度去审视,而每一侧面的美都不是孤立的,她们是相辅相成,密不可分的.她需要人们用心,用智慧深层次地去挖掘,更好地体会她的美学价值和它丰富、深遂的内涵和思想.在数学教学中,要充分挖掘数学美的因素,引导学生对美的追求,使他们摆脱“苦学”的束缚，走入“乐学”的天地.正如罗素所说：“数学，如果正确地看它,不但拥有真理,而且有至高的美.”