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一、情境创设
师：同学们，眼见一定为实吗？
生（齐）：一定。
师（给出两幅图片：两个等大的圆出现在两幅图中，一个是大圆内的小同心圆，一个是小圆外的大同心圆）：这两个圆一样大吗？
生（齐）：不一样大。
师（演示平移）：请同学们再看一看。
生（齐）：一样大。
师：可见，眼见不一定为实。它告诉我们，通过观察、操作实验可发现一些结论，但它们不一定都正确，其正确性需进行证实。今天我们就来学习证实结论正确性的方法——证明。
二、探索活动
活动一（课本第147页）
师：请看问题。如图1，长am宽bm的长方形草坪中间有一条1m宽的直道，现改为1m宽的“曲径”，如图2，这两条小道的面积相等吗？为什么？请大家独立思考后，进行小组交流。
（学生思考、计算。）
师：有结果了吗？谁来把你探索的成果与同学们交流一下？
生1：相同。易知图1中直道是bm2，对于图2中的曲径，可设想将它的两边拉直，可得到一个底为1m、高为bm的平行四边形，面积也是bm2，两者相等。
师：很好！将不规则图形转化为规则图形，答案一目了然，转化是常用的思想方法。有其他方法吗？
生2：可以这样思考，把左边草坪都向右平移1m，得到的都是边长为（a-1）m和bm的长方形，其面积相等，因此两条小道的面积相等。
师：把左边的草坪整个向右平移，能和右边的草坪拼合吗？请同学们按屏幕上的要求进行操作，体会一下两块草坪是否真能拼合；若能，怎样计算曲径的面积？
（屏幕呈现操作要求：① 用一张透明纸覆盖在图2上，描出小道左边草坪的边框；② 把透明纸向右平移，使左、右两边的草坪拼合。你发现了什么？为什么？）
（学生动手操作。）
生3：曲径处1m宽可以保证拼合，小道的面积等于长方形的面积减去两块草坪的面积，即a·b-a·（b-1）=b（m2）。
生4：曲径的面积就是平移后左边留下的长方形的面积，都是bm2。
师：通过平移，易得到曲径面积也是bm2，由此说明结论是正确的。
活动二（由课本第148页题目改编）
师：请思考下面的问题，然后把你的发现与同桌交流一下，看谁的结论正确。
（1）当m=-5、-[12] 、0、2、3时，计算代数式2-2m+m2的值。
（2）换几个数再试试，你发现了什么？
（学生计算后，同桌交流。）
师：谁来与大家分享一下你发现的结论。
生5：2-2m+m2的值是正数。
生6：2-2m+m2的值都大于或等于1。
生7：m的值为负数时，m的值越小，代数式的值就越大。
生8：m的值为正数时，m的值越大，代数式的值就越大。
师：这些结论正确吗？请大家小组内研讨，然后请各组的代表将你们的想法在全班交流。
生9：只有生8的结论不正确，m等于0.5和1.5时，代数式的值相等。
师：你们怎么知道前面三个结论都是正确的？
生10：举例子。
师：同学们，代数式中的m可以取哪些值？你能把所有满足要求的数都取到吗？怎么办？
生11：不用一一取数，可以通过代数式的变形来证明：m2-2m+2= m2-2m+1+1=（ m-1）2+1，无论m取何值，（m-1）2都大于或等于0，则（m-1）2+1总大于或等于1，生5和生6的结论正确。
生12：m是负数，它越小，m-1就越小，绝对值也越大，（m-1）2+1的值就越大，生7结论正确。
师：非常好！面对同一个代数式，从不同的角度观察、思考能得到不同的结论。这些结论有的正确，有的错误，我们必须通过说理才能作出判断。
活動三（课本第148页）
师：让我们一起走进数学实验室，继续来探索结论并说明理由。请同学们拿出事先准备好的边长为8cm的正方形纸片，先按图3剪成4块，再按图4重新拼合，你发现了什么问题？
生13（思考讨论后）：这4块纸片能恰好拼成一个长为13cm、宽为5cm的长方形吗？
师：你为什么会提出这样的问题呢？
生13：因为图3是正方形，面积为64cm2，图4是长方形，面积为65cm2，它们不相等。
师：很好，通过计算面积，我们发现并提出了问题，得出了由图3不可能拼成图4的结论。运用以后学习的知识，我们还可以找到很多种方法来说明图4不是长方形。
活动四（课本第149页）
师：先请同学们按屏幕上图5的要求画图操作，再思考后面的问题：画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC。（1）将三角尺的直角顶点落在OC上的点P处，使三角尺的两直角边与∠AOB的两边分别交于点E、F，比较PE、PF的长度；（2）把三角尺绕点P旋转，比较PE、PF的长度，你得到了什么结论？
（学生画图、操作。）
生14：（1）中PE=PF，（2）中PE与PF好像不相等。
师：三角尺旋转到哪个位置时，不用度量就能说明PE=PF？依据是什么？
生15：PE垂直于OA、PF垂直于OB时，此时四边形OEPF是正方形，正方形的边长相等。
师：还有什么位置不用度量就能说明PE=PF？依据又是什么？
生16：当点E和点O重合或点F和点O重合时，此时得到等腰三角形，等腰三角形两腰相等。
师：是的，三角板旋转到这几个特殊位置时，PE=PF。其实三角板在一般位置时，也能说明PE=PF，我们来用几何画板检验一下，请看大屏幕。
（师演示。）
生：哎，真的相等啊！
师：是的，确实相等，关于这个结论的说理，今后我们会研究。刚才一部分同学得到PE不等于PF的结论，可能是画图和测量中的误差造成的。
三、课堂练习
师：请看课本第149页练习3：任意写两个相邻偶数，计算较大偶数与较小偶数的平方差。换两个相邻偶数再试试，你发现了什么？
（学生先独立探索、研究，整理说理过程，然后汇报。）
生17：两个相邻偶数，较大偶数与较小偶数的平方差，等于这两个相邻偶数中间的奇数的4倍。
师：有不同的意见吗？如果没有，谁来说明其正确性的理由？
生18（迫不及待地）：设两个相邻偶数为2n和2n+2，则（2n+2）2-（2n）2=（2n+2-2n）（2n+2+2n）=2（4n+2）=4（2n+1），因此结论正确。
师：漂亮！有不同的说理方法吗？
生19：也可以用乘法公式来说理。
师：不错！这里我们通过举例、运算发现了一个结论，然后运用说理判断这个结论是否正确。像这样借助操作实验，进行观察猜想，探索发现结论，再寻求恰当的方法进行说理，判断结论是否正确的过程，正是人类进行科学研究的一般过程。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你对“说理”有哪些感受，还有什么问题吗？
生20：通过观察、实验、操作获得的结论，有的正确，有的错误，说理可判断它们的正确性。那么，如何有条理地表达说理过程呢？
生21：本节课学习的说理方法有计算、代数式变形、推理、举例子，还有其他说理方法吗？
师：大家提出的问题很好，这些正是我们今后所要学习的内容。
五、布置作业（略）
（本课例获江苏省泰州市初中数学高级教师优质课评比一等奖。作者为泰州市初中数学名师工作室成员，现任教于兴化市板桥初级中学）
师：同学们，眼见一定为实吗？
生（齐）：一定。
师（给出两幅图片：两个等大的圆出现在两幅图中，一个是大圆内的小同心圆，一个是小圆外的大同心圆）：这两个圆一样大吗？
生（齐）：不一样大。
师（演示平移）：请同学们再看一看。
生（齐）：一样大。
师：可见，眼见不一定为实。它告诉我们，通过观察、操作实验可发现一些结论，但它们不一定都正确，其正确性需进行证实。今天我们就来学习证实结论正确性的方法——证明。
二、探索活动
活动一（课本第147页）
师：请看问题。如图1，长am宽bm的长方形草坪中间有一条1m宽的直道，现改为1m宽的“曲径”，如图2，这两条小道的面积相等吗？为什么？请大家独立思考后，进行小组交流。
（学生思考、计算。）
师：有结果了吗？谁来把你探索的成果与同学们交流一下？
生1：相同。易知图1中直道是bm2，对于图2中的曲径，可设想将它的两边拉直，可得到一个底为1m、高为bm的平行四边形，面积也是bm2，两者相等。
师：很好！将不规则图形转化为规则图形，答案一目了然，转化是常用的思想方法。有其他方法吗？
生2：可以这样思考，把左边草坪都向右平移1m，得到的都是边长为（a-1）m和bm的长方形，其面积相等，因此两条小道的面积相等。
师：把左边的草坪整个向右平移，能和右边的草坪拼合吗？请同学们按屏幕上的要求进行操作，体会一下两块草坪是否真能拼合；若能，怎样计算曲径的面积？
（屏幕呈现操作要求：① 用一张透明纸覆盖在图2上，描出小道左边草坪的边框；② 把透明纸向右平移，使左、右两边的草坪拼合。你发现了什么？为什么？）
（学生动手操作。）
生3：曲径处1m宽可以保证拼合，小道的面积等于长方形的面积减去两块草坪的面积，即a·b-a·（b-1）=b（m2）。
生4：曲径的面积就是平移后左边留下的长方形的面积，都是bm2。
师：通过平移，易得到曲径面积也是bm2，由此说明结论是正确的。
活动二（由课本第148页题目改编）
师：请思考下面的问题，然后把你的发现与同桌交流一下，看谁的结论正确。
（1）当m=-5、-[12] 、0、2、3时，计算代数式2-2m+m2的值。
（2）换几个数再试试，你发现了什么？
（学生计算后，同桌交流。）
师：谁来与大家分享一下你发现的结论。
生5：2-2m+m2的值是正数。
生6：2-2m+m2的值都大于或等于1。
生7：m的值为负数时，m的值越小，代数式的值就越大。
生8：m的值为正数时，m的值越大，代数式的值就越大。
师：这些结论正确吗？请大家小组内研讨，然后请各组的代表将你们的想法在全班交流。
生9：只有生8的结论不正确，m等于0.5和1.5时，代数式的值相等。
师：你们怎么知道前面三个结论都是正确的？
生10：举例子。
师：同学们，代数式中的m可以取哪些值？你能把所有满足要求的数都取到吗？怎么办？
生11：不用一一取数，可以通过代数式的变形来证明：m2-2m+2= m2-2m+1+1=（ m-1）2+1，无论m取何值，（m-1）2都大于或等于0，则（m-1）2+1总大于或等于1，生5和生6的结论正确。
生12：m是负数，它越小，m-1就越小，绝对值也越大，（m-1）2+1的值就越大，生7结论正确。
师：非常好！面对同一个代数式，从不同的角度观察、思考能得到不同的结论。这些结论有的正确，有的错误，我们必须通过说理才能作出判断。
活動三（课本第148页）
师：让我们一起走进数学实验室，继续来探索结论并说明理由。请同学们拿出事先准备好的边长为8cm的正方形纸片，先按图3剪成4块，再按图4重新拼合，你发现了什么问题？
生13（思考讨论后）：这4块纸片能恰好拼成一个长为13cm、宽为5cm的长方形吗？
师：你为什么会提出这样的问题呢？
生13：因为图3是正方形，面积为64cm2，图4是长方形，面积为65cm2，它们不相等。
师：很好，通过计算面积，我们发现并提出了问题，得出了由图3不可能拼成图4的结论。运用以后学习的知识，我们还可以找到很多种方法来说明图4不是长方形。
活动四（课本第149页）
师：先请同学们按屏幕上图5的要求画图操作，再思考后面的问题：画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC。（1）将三角尺的直角顶点落在OC上的点P处，使三角尺的两直角边与∠AOB的两边分别交于点E、F，比较PE、PF的长度；（2）把三角尺绕点P旋转，比较PE、PF的长度，你得到了什么结论？
（学生画图、操作。）
生14：（1）中PE=PF，（2）中PE与PF好像不相等。
师：三角尺旋转到哪个位置时，不用度量就能说明PE=PF？依据是什么？
生15：PE垂直于OA、PF垂直于OB时，此时四边形OEPF是正方形，正方形的边长相等。
师：还有什么位置不用度量就能说明PE=PF？依据又是什么？
生16：当点E和点O重合或点F和点O重合时，此时得到等腰三角形，等腰三角形两腰相等。
师：是的，三角板旋转到这几个特殊位置时，PE=PF。其实三角板在一般位置时，也能说明PE=PF，我们来用几何画板检验一下，请看大屏幕。
（师演示。）
生：哎，真的相等啊！
师：是的，确实相等，关于这个结论的说理，今后我们会研究。刚才一部分同学得到PE不等于PF的结论，可能是画图和测量中的误差造成的。
三、课堂练习
师：请看课本第149页练习3：任意写两个相邻偶数，计算较大偶数与较小偶数的平方差。换两个相邻偶数再试试，你发现了什么？
（学生先独立探索、研究，整理说理过程，然后汇报。）
生17：两个相邻偶数，较大偶数与较小偶数的平方差，等于这两个相邻偶数中间的奇数的4倍。
师：有不同的意见吗？如果没有，谁来说明其正确性的理由？
生18（迫不及待地）：设两个相邻偶数为2n和2n+2，则（2n+2）2-（2n）2=（2n+2-2n）（2n+2+2n）=2（4n+2）=4（2n+1），因此结论正确。
师：漂亮！有不同的说理方法吗？
生19：也可以用乘法公式来说理。
师：不错！这里我们通过举例、运算发现了一个结论，然后运用说理判断这个结论是否正确。像这样借助操作实验，进行观察猜想，探索发现结论，再寻求恰当的方法进行说理，判断结论是否正确的过程，正是人类进行科学研究的一般过程。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你对“说理”有哪些感受，还有什么问题吗？
生20：通过观察、实验、操作获得的结论，有的正确，有的错误，说理可判断它们的正确性。那么，如何有条理地表达说理过程呢？
生21：本节课学习的说理方法有计算、代数式变形、推理、举例子，还有其他说理方法吗？
师：大家提出的问题很好，这些正是我们今后所要学习的内容。
五、布置作业（略）
（本课例获江苏省泰州市初中数学高级教师优质课评比一等奖。作者为泰州市初中数学名师工作室成员，现任教于兴化市板桥初级中学）