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等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称“三线合一”.这个知识点在图形证明题中用得比较广泛,我们可用它来构架桥梁——添加辅助线,巧妙解题,试举例如下:
【例1】已知:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,E为BC的中点.求证:DE∥AB.
【分析】AD平分∠BAC,AD⊥CD,AD有了两个身份,能否让它具备第三个身份?联系图1,延长CD,交AB于F,证明AD为CF上的中线,再用三角形中位线定理可得结论.
【证明】延长CD,交AB于F.
【例2】已知:如图2,BD、CE是△ABC的两条高,连接ED,F、G分别是BC、ED的中点.求证:FG⊥ED.
【分析】由需证结论“FG⊥ED”与条件中“G是ED的中点”可联想到FG应具有垂直和平分两重身份,由图可知,只有连接DF、EF,才能使FG直观地体现在等腰三角形中.由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,可证EF=DF,再由“三线合一”可得结论.
【证明】连接DF、EF.
一般情况下,“三线合一”在图形中总不能直观体现出来,这就增加了解题的难度.我们可利用此隐含条件来作辅助线,把残缺的图形补全,从而架起解题的桥梁.同学们,下面几题,请你们动手试一试!
1.已知:如图3,BD、CE是△ABC的角平分线,交点为O,AG⊥BD,AH⊥CE,垂足分别为G、H,连接GH.求证:HG∥BC.
2.已知:如图4,在△ABC中,∠B=∠C
=30°,AB的垂直平分线交AB、BC于点D、E,
F为EC的中点,连接AF.求证:AF∥DE.
3. 已知: 如图5, 在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E、F分别为AC、BD的中点,连接EF,求证:EF⊥AD.
4.已知:如图6,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、E、F分别是BD、AC、MN、BC的中点,求证:EF
⊥MN.
【例1】已知:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,E为BC的中点.求证:DE∥AB.
【分析】AD平分∠BAC,AD⊥CD,AD有了两个身份,能否让它具备第三个身份?联系图1,延长CD,交AB于F,证明AD为CF上的中线,再用三角形中位线定理可得结论.
【证明】延长CD,交AB于F.
【例2】已知:如图2,BD、CE是△ABC的两条高,连接ED,F、G分别是BC、ED的中点.求证:FG⊥ED.
【分析】由需证结论“FG⊥ED”与条件中“G是ED的中点”可联想到FG应具有垂直和平分两重身份,由图可知,只有连接DF、EF,才能使FG直观地体现在等腰三角形中.由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,可证EF=DF,再由“三线合一”可得结论.
【证明】连接DF、EF.
一般情况下,“三线合一”在图形中总不能直观体现出来,这就增加了解题的难度.我们可利用此隐含条件来作辅助线,把残缺的图形补全,从而架起解题的桥梁.同学们,下面几题,请你们动手试一试!
1.已知:如图3,BD、CE是△ABC的角平分线,交点为O,AG⊥BD,AH⊥CE,垂足分别为G、H,连接GH.求证:HG∥BC.
2.已知:如图4,在△ABC中,∠B=∠C
=30°,AB的垂直平分线交AB、BC于点D、E,
F为EC的中点,连接AF.求证:AF∥DE.
3. 已知: 如图5, 在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E、F分别为AC、BD的中点,连接EF,求证:EF⊥AD.
4.已知:如图6,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、E、F分别是BD、AC、MN、BC的中点,求证:EF
⊥MN.