浅水波越过海底周期圆台阵列的能带结构

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自上世纪90年代以来,在固体力学中具有广泛应用的能带理论被拓广到研究液体表面波在海底周期排列的无穷阵列结构上的传播并取得大量成果.然而很遗憾,二十多年来国际上所有的相关研究,几乎全都局限于简单的分段或分片常数深度的底部结构,如二维矩形台阶系列和三维(出水、水下或底部钻孔)直立圆柱阵列或直立棱柱阵列等,而周期性排列的变水深无限结构阵列几乎从未被研究过,原因在于变水深情形下,若采用浅水波方程为控制方程,则需要求解变系数偏微分方程或常微分方程,若采用叶氏方程或者缓坡类方程,由于线性波色散关系中波数为水深函数的隐函数,则需要求解系数为隐函数形式的偏微分方程或常微分方程.本学位论文研究线性浅水波越过海底周期排列的无限圆台阵列的能带结构.显然,在圆台之上的水深是连续变化的,称为变水深,这是以往有关液体表面波能带结构研究中极少涉及的.因为本文考虑的是线性浅水波,所以采用的控制方程为线性浅水波方程(也称线性长波方程).基于二元周期函数的傅里叶级数展开理论,我们将周期变化的水深函数展开成傅里叶级数,同时也将所求的自由液面高程函数的周期性部分展开成傅里叶级数,系数待定.然后将它们双双代入控制方程,并对傅里叶级数的无限求和进行有限截断,将原本是求能带结构的问题转化为求矩阵特征值的问题.最后,我们计算出了浅水波在按正方晶格和六角晶格两种方式排列的无穷周期阵列上的能带结构,并发现针对某些地形参数,正立圆台或倒立圆台都可能形成相应的完全频隙,所谓完全频隙是指在任何传播方向,频率落在此频隙区间的波在相关周期地形上都是绝对禁止或无法存在.进一步,我们分析讨论了不同地形参数尤其是圆台上下底面的填充率对频隙宽度以及频隙位置的影响.所得结果对近海工程中有限周期排列结构物的建造和优化具有理论性的参考价值.
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