如果将 k- 连通图 G 中的一条边收缩之后所得到的图仍然是 k- 连通图,则称这条边为 G 的 k -可收缩边. 利用阶至少为5的3连通图存在 3 --可收缩边这一性质,1980年C.Thomassen [13] 使用归纳法统一证明了 Kuratowski 的关于平面图的三个重要定理. k 连通图的 k --可收缩边的存在对图的某些性质进行归纳证明时有着重要的应用. 自从那时起, 人们对 k 连通图中的 k- 可收缩边进行了大量的研究. 不存在 k- 可收缩边的非完全 k 连通图称为收缩临界 k 连通图. 由于图的边的收缩运算与图的 Minor 之间的紧密联系, 对 k 连通图及收缩临界 k 连通图的结构的了解有可能对目前很多人关注的一个问题提供解决的线索. 这个问题是 Hadwiger [3]于 1943 年提出的如下猜想.Conjecture 1 对整数 k (k≥ 1) , 任意 k 色图都有一个 Kk ？ minor. 要解决 Conjecture 1 非常困难, 目前已知的结果不多. Dirac [25] 证明了任意Hadwiger 猜想的极小反例是 5 连通图.1947 年 Wagner [14]证明了 Hadwiger 猜想在 k=5 时等价于四色定理. 因此直接证明 k=5 时 Hadwiger 猜想成立就意味着四色定理的一个纯粹的数学证明. 从这个角度看, 弄清楚 k=5 时的 Hadwiger 猜想的极小反例是那些 5 连通图是很有意义的. 与之相关的一个问题是确定minor 极小的 5 连通图.我们知道 minor 极小的 3 连通图是 K4 , minor 极小的 4连通图是 C6 和 K5 ,而 minor 极小的 5 连通图是哪些图目前尚不清楚, 而且要　　2确定这些图也比较困难. M.Kriesell [24] 猜想是有下面这些图. Conjecture 2 每一个5连通图都有一个minor同构于 K6, K2　　　　　　,2,2,1,C5 ？ K3, I, I~或 G0 . 其中 I 是二十面体,I~ 是将 I 的某一个顶点的邻域所导出的圈 abcdea用 abceda 代替所得到的图.G0 是对 I 作如下运算得到的图： 设 abcdea 为 I的某一个点 w 的邻域导出的圈, 将顶点 w 和边 ab 去掉并连接 a, c 和 a, d ,然后把 b, e 粘合所得到的图. Conjecture 2 也只是在特殊情形下有一些结果. 对平面图, Dirac 证明了每一个 5 连通平面图有一个 minor 同构于二十面体.最近,G.FIJAVZ 证明对于射影平面图, Conjecture 2 成立.另一方面, 我们已知收缩临界 4 连通图只有两种类型, 即　　　　I<；WP=3>；Cn (n ≥ 5)和圈 4 边连通 3 正则图的线图, 由此可确定出 minor 极小 4 连通图. 本 2文试图通过研究收缩临界 5 连通图的性质(5 度点和三角形的分布), 了解一些收缩临界 5 连通图的结构, 从这个角度寻找方法确定 minor 极小 5 连通图. 对收缩临界 5 连通图的结构人们还知道的不多, 有关的结果如下.Theorem A [15] 收缩临界 5 连通图中每一个点都与一个 5 度点相邻. 后来, 苏健基进一步证明了.Theorem B[12] 收缩临界 5 连通图中每一个点都与 2 个 5 度点相邻.　　　　　　2 由 Theorem B 可得收缩临界 5 连通图 G 至少有 |G| 个 5 度点.本文对收缩　　　　　　5临界 5 连通图中的 5 度顶点的分布进行了研究, 得到以下一些结果首先我们构造了一个收缩临界 5 连通图, 说明 Theorem B 中的‘2’这个界是不能再改进, 并且得到了以下定理.定理 1 设 G 是收缩临界 5 连通图, x∈V(G) 且 d(x)≥ 8 . x1,x2为与 x 相邻的 5 度点. 若 x1,x2 ∈ E(G) , 则 x 与 3 个 5 度点相邻. 用 V5(G)表示 G 中的 5 度点的集合, <；V5(G)>； 表示其在 G 中的导出子图. 则有.定理2 设 G 是收缩临界5连通图. 则 <；V5(G)>； 的每一连通分支至少有4个顶点. 对于收缩临界5连通图中5度顶点的数目K.Ando 等人[31]提出了如下问题,问题 1 确定常数 c , 使得每一个收缩临界 5 连通图至少有 c|G| 个 5 度点. 由Theorem B 可知 c ≥　　　　2　　　　. K.Ando 等人在[31]中构造了一个收缩临界5连　　　　5通图(即本文定理 2 后给出的图)说明了 c ≤ . 本证明了下面的结果.　　　　　　8　　　　　　13定理 4 设 G 是收缩临界 5 连通图, 则 |V5(G)|≥ 4　　　　　　|G| .　　　　　　9 我们还研究了其它一些情形下收缩临界 5 连通图的 5 度点的分布.定理 5 设 G 是收缩临界 5 连通图, x, y∈ V(G) 且 x≠ y . 则 G 中任意最长的 x-y 路上至少有 2 个 5 度点.定理 6 设 G 是收缩临界 5 连通图,　　C 是 G的边割且 C 分 G 为 V1,V2两部分.设 X 是 V1 中与 C 关联的点集,　　Y 是 V2 中与 C 关联的点集. 则YI V5(G) ≠ φ 或 X I V5(G) ≠ φ . 我们称 K3 为三边形. k 连通图中的三边形与 k 可收缩边的存在性也有　　　　II<；WP=4>；密切关系. Thomasson[13]证明了每一个无三边形的 k 连通图一定含有 k 可收缩边. Egawa [3]改进为每一个无三边形的 k 连通图 G 至少有 min{|V(G)|+2