本文发展了比例边界有限元方法(SBFEM)在波浪与开孔结构相互作用及电磁场问题中的研究。比例边界有限元方法是近年来提出和迅速发展的用来求解线性偏微分方程的一种半解析数值方法,它融合了有限元法和边界元法的优点,又有其特有的优点。该方法只需数值离散计算域边界,减少了一个空间维数；在没有离散的径向方向利用解析的方法求解,具有较高的计算精度。相对于边界元方法,它不需要基本解,也不存在奇异积分问题；对于无限域问题,也无需引入截断边界就能够自动满足无穷远处的辐射边界条件。比例边界有限元方法已成功地应用于弹性静、动力学、断裂力学、结构—无限地基动力相互作用、流固耦合、声波等领域,在许多领域有着非常大的应用前景。根据国家自然科学基金重点项目以及中德合作研究项目的研究需要,本文的第一部分开展了SBFEM对波浪与圆弧型开孔柱结构相互作用问题的研究。开孔结构由于具有良好的减小波浪反射和自身所受波浪力的特性,越来越多地受到人们的重视。然而,大多研究工作者侧重于二维平面波浪与直立方沉箱开孔结构的相互作用问题的研究。迄今为止,更能反映实际海洋状况的三维短峰波与圆弧型开孔柱结构的相互作用问题的研究很少。为此,基于线形势流理论并采用改进的圆形比例边界有限元坐标变换系统,本文充分利用SBFEM优点将短峰波与圆弧型开孔柱结构相互作用的波动问题控制方程转换为贝塞尔方程,可以方便地通过贝塞尔或汉克尔函数进行解析求解。据此,重点研究了以下不同类型开孔结构的水动力相互作用：圆弧型贯底式开孔介质防波堤、双层开孔圆筒柱结构、双层圆弧型开孔柱结构、圆筒外接圆弧开孔柱结构、外壁局部开孔双筒柱结构、双层外壁开孔带内柱的圆筒结构、双层外壁开孔带内柱的圆筒结构和圆柱外接双层圆弧型开孔柱结构。当存在圆弧型结构时,本文巧妙地将圆弧延伸构建出了虚拟同心圆,其中圆弧段与圆弧延伸段的孔隙影响系数可由对角矩阵G统一进行表达,以便构建虚拟圆处的边界条件。针对不同结构类型,SBFEM将各个结构分成若干个有限域和一个无限域。无论结构多复杂,SBFEM只需对最外层圆边界进行离散,使空间维数降低一阶,并在圆的半径方向保持解析。本文首次利用变分原理方法推导了关于势函数的各个子域SBFEM方程。其中,有限域和无限域的包含未知展开系数势函数表达式可分别采用贝塞尔函数和汉克尔函数作为基底,并且通过开孔介质两侧的匹配边界条件可以求解待定的展开系数。针对每个结构,都通过数值算例验证了该方法是一种用很少单元便能得到精确结果的高效算法。进一步研究了诸如短峰波波浪参数、结构的几何参数以及孔隙影响系数G等因素对不同结构所受的波浪力和波浪绕射的影响。本文的研究成果为不同形式圆弧型开孔型结构的水动力分析和工程结构设计提供了有价值的参考。由于SBFEM的特殊优越性,作者所在的工程抗震研究所开展了与SBFEM的创始人之一澳大利亚新南威尔士大学宋崇民教授的长期国际合作,聘请其为大连理工大学海天学者。宋教授经常来我校讲学和交流,根据我们与宋教授的合作研究的协议以及电磁场问题在人们的日常生活及工程具有重要的意义,本文的第二部分将开拓比例边界元有限元方法在电磁场问题中的研究。尽管论文的两部分物理现象关联性很小,但幸运的是,圆弧型开孔柱结构的相互作用和一些电磁场问题之间的数学表述有很多相似之处,通过同时使用SBFEM对两部分问题的求解,可以非常方便地将论文两部分有机结合起来,同时也为开展交叉学科研究提供了一条有效的途径。在电磁场问题的研究中,论文首先将SBFEM应用于电磁场问题中的静电场问题。从拉普拉斯方程出发,利用变分原理并通过比例坐标和笛卡尔坐标变换,推导和求解出了静电场分析的比例边界有限元方程、电位求解公式以及电场求解公式,提出了一种分析静电场问题半解析方法。与此同时,本文还引入了两种新型比例边界坐标,一类是含平行侧边面的比例坐标,另外一类是含圆形域比例坐标,并且也推导和求解了相应的比例边界有限元方程。在此基础上,文中还重点求解了非齐次、侧边面含有电位以及无穷远电位不为有限值的比例边界有限元方程。通过10个算例计算结果与解析解和其他数值方法比较,结果表明此方法在处理一些电磁工程含有奇异点、非均匀介质和无限域等复杂问题中能显著提高计算效率和计算精度。其次,本文发展了SBFEM在另外一类电磁场问题—波导本征值问题中的研究。波导截止频率的计算是一个富有挑战性的问题,各种形式的波导有一定的传输频率范围和传输特性,这对于波导的设计具有非常重要的意义。本文也利用了变分原理并通过比例边界坐标变换,推导了TE波和TM波波导的比例边界有限元频域方程以及波导动刚度方程,同时给出了波导动刚度矩阵的连分式解形式,通过引入辅助变量进一步得出波导特征值方程并求出波导本征值。以矩形、L形波导和叶型加载矩形波导的本征问题分析为例,通过与解析解和其他数值方法比较,结果表明此方法具有精度高、计算工作量小的优点,随着连分式阶数增加收敛速度快,而且SBFEM使用很少的单元数就能很好地解决了含有奇异点问题。脊波导具有较低的截止频率、较宽的工作带宽、低特性阻抗等优点,使得脊波导在微波和毫米波器件中被广泛应用。便随着高容量现代通信系统日益增长的需求,四脊波导也被广泛采用,尤其是在天线和雷达系统。对于四脊加载波导,往往在实际工程应用中,会对加载矩形进行剪切,而对于该类波导本征值研究较少。由于这类型波导多个角点处含有奇异性,使有限元计算中遭到困难,不得不采用网格加密或者采用高阶超级单元办法,增加了计算的复杂性,边界元方法在处理这类奇异问题也比较棘手,例如奇异积分的存在。为此,本文采用SBFEM的优越性可以顺利克服这些缺点,使计算效率和计算精度有很大程度的提高。这其中就包括分析了三类角切四脊加载(正方形、圆形和椭圆)波导的传输特性,并且给出了其中角切四脊加载正方形波导中的部分模式的截止波数计算经验公式,为工程设计提供一定理论依据。本文的解法也对计算电磁学发展作出了有意义的贡献,同时对工程应用也产生很好的效果。