作为连接数学理论与实际应用的桥梁,以物理、力学问题为背景的非线性发展方程的研究不仅是传统应用数学的主要内容,也是现代数学的重要组成部分。与线性方程相比较,非线性在数学研究上带来实质性的困难。因此,研究非线性发展方程是一项具有挑战性的工作,特别是求非线性发展方程的精确解一直是研究的热点。目前虽然已经提出并发展了许多方法来精确求解非线性发展方程,如逆散射方法、Backlund变换方法、李群方法、以及一些直接代数方法（如Hirota双线性法、混合指数法、齐次平衡法、双曲函数展开法、Jacobi椭圆函数展开法）等,但是仍有大量的具有实际背景的非线性发展方程,需要新的方法才能求解出其精确解。本文的主要工作是利用和发展试探方程法,并运用到物理学和力学中的五类常见的非线性发展方程,求得了一系列精确解,并刻画了这些物理问题的丰富的波传播模式。主要包括以下三部分内容:首先,将传统的试探方程法推广为复试探方程法,并以此研究了两类非线性Schr（?）dinger方程,分别是带二次-三次非线性项的Schr（?）dinger方程和带非局部抛物律的Schr（?）dinger方程。对于第一个模型得到了其光孤子解、不连续周期解、奇异有理函数解、指数函数解及Jacobi椭圆函数解等七种形式的精确解,其中包括三个目前用其他方法尚未得到的新解。对于第二个模型构造了其丰富的精确包络行波解,得到了光波在非局部抛物律介质中的传播表现为孤子行为和周期模式,根据不同的参数的选择,确定了相应的光波传播模式。其次,将传统的试探方程法推广为耦合试探方程法,并以此研究了两类浅水波运动方程组,分别是耦合Kaup-Boussinesq方程组和耦合Kaup-Boussinesq II方程组。对于第一个方程组,利用五阶多项式判别系统,得到了其十三组精确的单行波解,对于第二个方程组利用四阶多项式判别系统,得到了其六组精确的单行波解。特别地,当波传播速度为一个特殊的常数时,两类方程组均具有周期解,显示了该系统的周期动力学行为。最后,将传统的试探方程法推广为变系数试探方程法。研究了变系数广义Kd V-m Kd V组合方程,分别考虑了当自由参数取1,-1/2和2时的三种情形,对于自由参数取1的情形,利用四阶多项式完全判别系统对其解进行了分类;对于自由参数取-1/2的情形,原方程可转化为有理形式的因子方程,然后利用四阶多项式完全判别系统对其解进行了分类;对于自由参数取2的情形,其因子方程解的分类可转化为六阶多项式的判别系统,从而求出原方程的精确解。