随着中国科学技术的迅速发展，促使着自然科学需向更高、更深、更广的方向发展，如金融数学的市场分析和期权定价，超音速飞机的空气动力学问题等。这些课题涉及到椭圆和抛物型方程。本文研究其中关于非线性椭圆偏微分方程(PDE)和积分方程及系统的一些问题。这类问题大多数来源于共性几何和凸几何，例如，完全非线性的Yamabe方程，K-Hessian方程，描述高斯或标量曲率的方程，以及来自Lp闵可夫斯基问题的Monge-Ampere方程。自上个世纪70年代以来，一些积分方程在PDE和几何分析领域中起着关键的作用，例如，与Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS)基本不等式相关的欧拉-拉格朗日方程。这些方程很多己被应用到物理、化学和生物等多个领域。　　在研究关于HLS不等式的积分方程和系统期间，W.Chen和C.Li引入了新的方法，并形成了一套更有效的工具，例如积分形式的移动平面法和利用压缩和收缩算子来提高解的正则性。这些方法使得很多研究者能够解决更困难的问题，包括Lieb提出的两个公开问题。这些方程除了本身在非线性理论中重要意义外，还等价于共性几何中著名的半线性PDE。　　接下来，重点阐述本论文所解决的主要问题，涉及到分数阶L，aplacian问题方法的重大改进，Reichel和Weth提出的公开问题。　　在第一章中，将总体上介绍本论文主要研究的问题和所得到的结论以及研究问题所使用的方法。　　第二章首先利用极限指标定理研究了具有临界指标的非相关性p-qLaplacian椭圆系统解的存在性和多解性问题，与之前的一些工作相比，主要突破是在具有临界指标的高阶情形下，得到了椭圆系统解的存在性与多解性。其次还利用Liustemik-Schnirelmann理论研究了非线性Schr(o)dinger-Maxwell系统解的存在性和多解性问题。结论的主要新颖之处在于建立了解的个数与位势的极小值点的集合之间的关系，这是非常有意义的。本章最后利用Liustemdk-Schnirelmann理论及Morse迭代证明了具有临界及超临界增长的非线性Schrodinger方程组解的存在性与多解性问题。将次临界情形下解的存在性与多解性的结论推广到临界和超临界的情形。　　第三章是本论文的重点部分也是精华部分。第一部分利用积分形式的移动平面法证明了在半空间上积分方程的Liouville定理--解的不存在性并进一步证明了二阶偏微分方程与积分方程的等价性，从而可以将得到的积分方程的解的性质应用于偏微分方程。　　在第三章的第二部分基本上解决了Reichel和Weth提出的公开问题，用更弱的条件取代了原有的解的有界性。并且在局部可积的条件下，证明了积分方程解的不存在性。在等价性的前提下，得到了半空间上临界和次临界情形下，具有Dirichlet边界条件的高阶偏微分方程解的不存在性。可以用此作解的先验估计，即证明临界和次临界情形下，有界区域上解的有界性。　　在第三章的第三部分证明了半空间上具有Navier边值条件的上调和性质。这是长期以来，没有解决的公开问题。有了这一重要的性质后，才可以在不需要任何假设的条件下，证明半空间上具有Navier边界条件的高阶偏微分方程与积分方程的等价性。　　在第四部分证明了半空间上分数阶Laplacian解的不存在性。推导了半空间上与之等价的积分方程，并利用积分方程证明了解的不存在性。分数阶Laplacian是目前受数学家和概率学家关注的热点问题之一。他们大多数采用拓展的方法。而给出了新的证明思路。这一新思路的提出大大简化了以往的证明过程，且得到了更好的结果，是问题解决方法的一个重大突破。对解决分数阶Laplacian的其他问题起到了巨大的推动和基础作用。