【摘 要】
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反应扩散方程广泛应用于生态学、流行病学、生物化学等领域的研究.大量的反应扩散模型都是建立在固定区域上来研究其动力学行为.考虑到物种迁移以及传染病具有蔓延现象,利用自由边界来刻画这些问题将有助于人们准确地解释自然界中的许多现象,从而弥补固定边界问题的缺陷.这类问题具有重要的理论和实际意义,并且获得了众多学者的极大关注.本文以蚊虫媒介传染病模型为例,围绕一类在高维径向对称环境下具有非线性项反应扩散合作
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反应扩散方程广泛应用于生态学、流行病学、生物化学等领域的研究.大量的反应扩散模型都是建立在固定区域上来研究其动力学行为.考虑到物种迁移以及传染病具有蔓延现象,利用自由边界来刻画这些问题将有助于人们准确地解释自然界中的许多现象,从而弥补固定边界问题的缺陷.这类问题具有重要的理论和实际意义,并且获得了众多学者的极大关注.本文以蚊虫媒介传染病模型为例,围绕一类在高维径向对称环境下具有非线性项反应扩散合作系统的自由边界问题展开研究.主要结果如下:首先,通过函数变换将原自由边界问题转化为固定区域上的初边值问题,应用压缩映像原理、抛物型方程初边值问题的LP理论、Sobolev嵌入定理及Schauder估计得到了解的局部存在唯一性,进而将局部解延拓为整体解,并且根据Hopf引理结合Stefan条件对自由边界的单调性进行了刻画.其次,考虑方程组相应的特征值问题,给出其主特征值关于区域的依赖关系,分析了该系统的传播-消失二分性,通过构造合适的上下解并借助比较原理进一步得到了传染病传播成功与失败情形发生的充分条件.再次,应用上下解方法研究了半波解的存在性,利用滑动技巧得到了半波唯一性,通过利用合适的半波解构造上下解并结合比较原理确定了在传播成功情形下精确的渐近传播速度.最后,通过数值模拟分析了在初始密度一定的情况下,初始区域、传播能力对传染病传播成功与失败的影响,并对成功传播时的渐近传播速度进行了估计,进一步验证了传播成功与失败的判定准则.从图形上看,数值模拟与理论结果是一致的.
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