自由型曲线曲面造型是计算机辅助几何设计的核心内容之一,而NURBS则是自由型曲线曲面造型的重要手段与方法。由于NURBS曲线曲面不支持带有T点的网格,在进行较为复杂的几何建模时就会不可避免地产生大量冗余的控制点,给几何造型设计增加了计算上的复杂性。同时,NURBS也不具有局部细化能力,这也限制它在等几何分析领域中的进一步应用。为了解决NURBS的局限,T-样条、层次B-样条、PHT-样条等设计与分析技术应运而生。在这些技术与方法中,层次样条是设计与分析的重要手段之一。本文对层次网格上的多项式样条理论与应用继续展开了研究,主要工作包括以下七章内容:在第一章中,本文简要介绍了计算机辅助几何设计的背景及研究现状。在第二章中,介绍了一些本文后续工作中涉及到的一些重要概念及理论。主要包括层次T-网格概念、维数公式、PHT-样条及其构造。在第三章中,本文讨论了 PHT-样条曲面的求值问题。PHT-样条曲面是定义在层次T-网格上的分片多项式曲面。由于其强大的局部细化能力,使得它在几何处理与分析上均有着广泛的应用。然而由于PHT-样条基函数是Bezier纵标形式定义的,在PHT-样条曲面求值时,需根据具体的层次T-网格,计算出每个基函数在其所支撑胞腔上的Bezier纵标并保存下来。随着层数的增加,需要大量的存储空间。本文将张量积B样条上的de Boor算法推广到PHT-样条曲面上进行求值。这一求值的基本思想是根据所求点处的参数对所在的每一层胞腔,逐层的构造局部张量积网格,并在局部张量积网格上递归地定义张量积B-样条曲面。在最后一层上,基于所得到的控制顶点直接利用de Boor算法进行求值。与PHT-样条基函数的Bezier纵标形式相比较,本文的求值算法具有着同阶的计算复杂度,而存储量却远小于Bezier纵标形式。在第四章中,本文给出了 T-网格上带有控制网的多项式样条。对于PHT-样条曲面,由于层次T-网格上的每个基点对应着四个基函数,这导致PHT-样条曲面的基函数与控制点之间并非一一对应,这使得在利用PHT-样条进行建模及对模型编辑时带来困扰。同时PHT-样条在每个T-点处没有定义基函数,这也使得PHT-样条曲面在T-点处的编辑能力减弱。本文提出了一类T-网格上带有控制网的多项式样条,所采用的策略是将T-网格上的T-点延长,从而将T-网格扩展为适合设计的网格,并且对于原网格上每个T-点与基点,在扩展网格上都定义相应的基函数。再引入扩展网格的指标网格,使得基函数与顶点之间能够一一对应。在第五章中,本文讨论了 PHT-样条曲面与层次B-样条曲面之间的相互表示。本文是以样条空间S（3,3,1,1,J）为例进行说明的。这种相互表示,本质上是同一个样条曲面在不同基函数下的表示,而其中的核心部分是计算出样条曲面在层次网格J上每一个基点处的Hermite几何信息。然后要求所求的PHT-样条曲面或层次B-样条曲面在每一个基点处插值其Hermite几何信息,计算出每个基点所对应的4个控制系数,从而完成了它们之间的相互表示。在第六章中,本文首先讨论了在基于Ⅱ型三角剖分样条空间上带有非齐次边界PDE的求解问题。文献[54,56]中,在S21,0（Δmn（2））上对带有齐次边界的PDE问题的求解进行了讨论。然而当所求的PDE问题带有非齐次边界约束时,如果直接在S21,0（Δmn（2））上进行求解,得到的数值解可能不具有收敛性。本文在基于Ⅱ型三角剖分的样条空间S21,0（Δmn（2））与S21（Δmn（2））上构造了一组混合B-样条基函数,在这个混合B-样条空间上对带有非齐次边界的PDE问题进行求解,从而得到收敛的解。通过实验表明在Ⅱ型三角剖分上的混合B-样条空间之上,对带有非齐次边界的PDE问题进行求解,得到的数值解快速向真解收敛。在本章中,我们还讨论了规则Ⅱ型三角剖分上的层次B-样条基函数的构造,得到了基于Ⅱ型三角剖分上的层次B-样条空间。这一类层次B-样条空间的基函数具有非负性、多项式完备性、局部支撑性、线性无关性、嵌套性以及单位剖分性等优美性质。在第七章中,对本文工作进行了总结,并对后续工作进行了展望。