本文首先简单介绍了具有奇性的非线性方程边值问题的历史背景、现状以及一类变分不等式的发展。 在第二章里，我们讨论如下含临界对数位势的半线性双调和方程Dirichlet边值问题。 △2u=λu/|x|4ln2|x|+u|u|p-1,x∈B,u=Du=0,x∈δB(1)在空间H20(B)中的非平凡解的存在性，其中B是R4中单位开球域，且p＞2。 首先定义了非线性双调和方程中临界位势的概念，然后推导了含临界对数位势的Hardy不等式：当维数N=4时，对任意非平凡的u(x)∈H20(B)，当x≠x0时，都有∫u2/B|x-x0|4ln2|x-x0|dx≤4∫B|△u|2dx. 利用这个不等式证明了问题(1)对应的泛函满足山路几何。从而得到如下的存在性结论：对任意的p∈(2，+oo)(此时包括次临界、临界和超临界指数的情况)，若λ＞λ0=1/4成立，则该问题无解；若λ<λ0,则问题(1)都至少有一个正解。 在第三章，我们主要研究两类含奇性的双调和Dirichlet边值问题的特征值不等式。第一类问题所含的奇系数属于L∞(Ω)，即如下含奇性的双调和方程Dirichlet问题△2u+λa(x)△u=0,x∈Ω,u=δu/δv=0,x∈δΩ其中λ＞0，a(x)∈L∞(Ω)且a(x)＞0，Ω(∩)RN是一个有界区域，并且边界是充分光滑的。空间维数N≥2。对于问题(2)，得出如下的特征值不等式 λ2+[1+4(N+4)B2/(N+2)2]λ1,(A)N≥2.而第二类问题所含的奇系数属于Hardy位势，即△2u=μu|x|α,x∈B,u=δu/δv=0,x∈δB, 其中α∈[0，4]，空间维数N＞α，B为单位球。该问题被称为双调和算子的Schr(o)dinger问题。对于这个问题，我们得出如下几个不等式：1.对任意N＞α，m≥1，考虑问题(4)的前(m+1)个特征值，有μm+1≤μm+8(N+2)/mN2C2m∑i=1μi(5) 2.对任意N＞α，m≥1，考虑问题(4)的前(m+1)个特征值，有隐式估计N∑i=1√μi/μm+1-μi≥m3/2N2C3/2/8(N+2)(m∑i=1μi)-1/2(6) 和显式估计μm+1≤μm+8(N+2)/m3/2N2C3/2(m∑i=1μi)1/2(m∑i=1μi1/2).(7) 其中结论2的两个估计都强于结论1的估计。在第三章最后一节，我们还给出了一些具有低指标特征值的更优估计和评述.即：对任意N＞α，m∈N，关于问题(4)的一些低指标特征值，有更强的估计μm+1≤(1+σ)μm+q(σ)M(N)/mCm∑i=1μi(8) ≤[1+σ+q(σ)M(N)1/C]μm，其中q(σ`)=[(1+σ)3/σ]1/2,M(N)=32/3N√2/3(N+2)-1/2.我们通过实际计算验证了在某些低维数空间里，对问题(4)的某些低指标特征值来说，估计(8)更优于估计(3)和估计(5)-(7)。 在第四章里，我们讨论了如下的含奇性权的拟线性Brezis-Nirenberg-div(|x|-apl▽u|p-2▽u)-|u|q-2u/|x|bq+λ|u|p-2u/|x|(a+1)p-cx∈Ω,u=0,x∈δΩ(9) 的非平凡解的存在性和不存在性，其中0∈Ω(∩)RN是一个具有C1边界的有界开集，1