孤立子理论作为数学物理中的新兴领域已经成为非线性科学研究中的热点.特别是求出所给非线性方程的精确解，从而得出该方程所包含的物理意义，更是成为研究者所热衷的课题。因为精确解能从本质上阐明和预测某些重要的物理现象，而且还可以用来设计和检验数值解法。而李群作为经典的数学学科分支，给约化和求解微分方程提供了有效的方法，尤其是微分方程系统的对称，它揭示了微分方程解之间的联系，统一了许多微分方程的解法，在数学和物理的发展史中占据了显著的地位.另外，符号计算软件的出现给非线性方程的精确求解问题开拓了崭新的局面。因为符号计算简化了繁琐的计算过程，提高了工作效率。许多精确求解的方法也随之产生.本文基于符号计算，研究了非线性方程的精确求解和对称问题。　　 第一章简要介绍了符号计算、孤立子以及李对称的产生与发展，回顾了国内外学者的诸多研究成果。　　 第二章着重论述了孤立子理论中的构造性方法，并在此基础上研究了(N+1)一维拓展非线性Klein-Gordon方程，给出了它的包络解。　　 第三章介绍了李群在微分方程中的应用，主要是求解微分方程对称的原理。　　 第四章分析了(4+1)-维Fokas方程的李对称的李点对称和势对称，并且得到了(4+1)-维Fokas方程的行波解以及(2+1)-维约化形式。