论文部分内容阅读
本文主要内容分两部分：
第一部分,首先我们研究二阶Hamiltonian系统Dtp+P(p)w(p)=0,P∈M。(1)闸轨道的奇异扰动,它的奇异扰动方程为x+w(x)+ε2/1G(x)=0,(2)这里M是Rm+l的m维嵌入子流形。P(p)是从TpRm+l到TpM的正交投影,Dt是沿着方向p的协变导数。w∈C2(Rm+l,R),G∈C2(Rm+l,R)满足下面两个条件：
(a)G(x)≥0,G｜M=0,。
(b)G在M上点P处的二阶微分满足G"(p)｜NpM是正定。
它的一个周期解(x,T)称为闸周期解,如x(0)=x(2/T)=0,x(2/T+t)=x(2/T-t),x(t+T)=x(t),(A)t∈R。
在这部分,我们的主要结果是：对于方程组(1)的一个闸周期解p0(t),只要它的线性化方程的零维数为1(非退化解),则存在一个序列εk→0,k→+∞,对于每一个这样的εk,存在方程(2)的非退化闸周期解(xk,T)满足：｜Xk(t)-p0(t)｜≤cε2k,｜Xk(t)-p0(t)｜≤cεk。
第二部分研究一阶Hamilton系统非退化周期解的奇异扰动。
在这一节,我们研究一阶Hamiltonian系统u=JHu(u,0),u∈R2m。(3)周期轨道的奇异扰动,它的奇异扰动方程为x=J(H(x)+1/ε2 G(x)),(4)这里H∈C2(R2m+2l,R),G∈C2(R2m+2l,R)满足下面两个条件:
(a)G(x)≥0,G(u,0)=0,Au∈R2m。
(b)G的二阶微分满足G"(u,0)｜NPM是正定。
对于特殊的H,G,以及方程组(3)的非退化周期解u0(t),我们有类似二阶系统的结果。
本文的第一节是一些预备知识。
在第二节,我们将把[SZ]中的结果推广到闸周期解的情形,并且得到类似的结果(Theorem 1),并且给出了它的证明。
在第三节,按照[SZ]-文中的方法,在一阶系统的情况下,我们给出了类似于定理1的结果(Theorem 2)。