【摘 要】
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本论文主要研究积分方程及其紧算子超收敛数值算法，积分方程及其紧算子高精度数值算法是当今计算数学领域一个研究重点和热点，同时在数学、物理和工程上有很强的应用背景.目前国内的研究主要集中在微分方程及其微分算子的数值求解上,对于积分方程及其紧算子的研究成果相当的少，是计算数学快速算法研究方向的一个新的研究热点.本文研究的目的是：以具有低复杂性为特点的多项式作为有限维子空间的基底，构造具有超收敛性的多项式
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本论文主要研究积分方程及其紧算子超收敛数值算法，积分方程及其紧算子高精度数值算法是当今计算数学领域一个研究重点和热点，同时在数学、物理和工程上有很强的应用背景.目前国内的研究主要集中在微分方程及其微分算子的数值求解上,对于积分方程及其紧算子的研究成果相当的少，是计算数学快速算法研究方向的一个新的研究热点.本文研究的目的是：以具有低复杂性为特点的多项式作为有限维子空间的基底，构造具有超收敛性的多项式多投影算法和迭代多项式多投影算法的理论框架，解决传统投影法的数值解不具有超收敛性的问题，将算法运用到第二类Fredhlolm积分方程中，集中构造Galerkin法、迭代Galerkin法、配置法，分析积分核函数和解的光滑度满足一定条件时，多投影法的逼近解及其迭代解的精度可以达到一般投影法的三倍和四倍，解决了传统投影算法在降低计算复杂度的同时也要求数值解具有超收敛性的矛盾问题.同时为了分析数值解的收敛阶，适当的选取数值积分公式，构造全离散情形下的多项式多投影算法及其迭代格式的理论框架，分析全离散的逼近解及其迭代解具有的超收敛性.对于利用多投影算法求解紧积分算子特征值问题，本文采用多项式空间作为投影空间，而不同于标准投影法的分片多项式空间，原因是多项式空间具有基底容易构造，可降低计算的复杂性的优点.但另一方面又因多项式空间灵活性较差，使理论分析有相当的难度.然后，在选取的空间上，试图建立多投影法的逼近框架.经过努力学习研究，我们已经得到多项式多投影算法求得的近似解精度可以达到标准投影法的两倍和三倍.也就是在提高近似解数值精度的同时又降低了计算的复杂性，这是对印度学者Rekha P.Kulkani在2003年的数值结果作出了推广.
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