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随着对Hopf代数研究的深化, Hopf代数的一些弱概念的意义被越来越多的理解和重视.本文主要讨论了弱Hopf代数的一些简单性质以及弱Hopf代数的几个具体的例子.并且讨论了弱Hopf代数同态的性质以及其具体的应用.给出了一类新的弱Hopf模,并且把弱Hopf模同态基本定理推广到这一类新的弱Hopf模上.进一步研究了弱Hopf模的不变量的性质.首先,通过弱Hopf代数的定义和它的一些例子以及文献[3]、[23]所给出的性质,得到了弱Hopf代数的一些简单性质.其次,讨论了弱Hopf代数同态与弱Hopf代数的积分、反极元之间的关系.最后,给出了弱Hopf代数中一个有价值的例子,并且利用这个例子进一步讨论了弱Hopf模的有关性质.整篇文章分为下面的四部分进行阐述和论证:第零节是用到的预备知识,主要是一些基本概念和相关性质.第1节对弱Hopf代数进行了一些研究,得出以下的主要结果:定理1.1.1:设H为任一弱Hopf代数,则对（?）h,h∈H有:（1）h R （h ） = h（1）ε（h（2）S（h ））（2） L（h）h =ε（S（h）h（1））h（2）例1.2.2:设H为弱双代数, A为右H（?）余模余代数.令C = A （?） H,则恰当地定义运算就可以使C成为弱双代数.例1.2.3:设（H, M, u, （?）,ε, S）为弱Hopf代数,A H为H的K（?）子空间,则（1）若（A,M|A（?）A, u）为代数,（A,（?）|A,εA）为余代数,则（A,M|A（?）A,u,（?）|A,εA）为弱双代数;（2）若A既为H的理想,又为H的余理想,并且S（A） （?） A,则H/A亦为弱Hopf代数.第2节对弱Hopf代数同同态态进行了一些些研研究,得出以下的主要结果:定理2.1.1:设H1, H2, H3均为弱Hopf代数, f1 : H1→H2 f2 : H2→H3均为弱Hopf代数同同态态,则f1f2 : H1→H3亦弱Hopf代数同同态态.定理2.1.2:设H为弱Hopf代数;A既为H的理想,又为H的余理想,并且S（A） （?）A,则π: H→H/A为弱Hopf代数同同态态.定理2.2.1:设f : H→B为单的弱Hopf代数同态,则对（（?））∈SL（H）,（?）b∈B都有f（l（1）） （?） bf（l（2）） = S（b）f（l（1）） （?） f（l（2））.定理2.2.2:设SH,SB分别为弱Hopf代数H,B的反极元,f : H→B为弱Hopf代数同同态态,则MB（SBf （?） f）（?）H = MB（fSH （?） f）（?）H.定理2.3.1:在对偶弱双代数[H, K,σ]中,（1）若H为弱Hopf代数,则σ卷积可逆,且σ（?）1 =σ（SH （?） 1）（2）若K为弱Hopf代数,则σ卷积可逆,且σ（?）1 =σ（1 （?） SK）定理2.3.2:设[H, K, ,σ]为对偶弱双代数,若σ卷积可逆且εK（kl） =εK（k）εK（l）,则σ（?）1（h, kg） =σ（?）1（h（1）, g）σ（?）1（h（2）, k）定理2.3.3:设f : H→B为弱双代数同态,若H1, H2均为H的子弱双代数,并且[H1, H2,σ]为对偶弱双代数,则f（H1）, f（H2）均为B的子弱双代数且[f（H1）, f（H2）,σ]亦为对偶弱双代数.其中对（?）（h1, h2）∈H1×H2σ（f（h1）, f（h2）） =σ（h1, h2）第3节对弱Hopf模的研究得出以下的主要结果:定义3.1.2 :设K是H的子弱Hopf代数, M为任一空间.若M满足以下条件:（1）（M,（?））为右K-模;（2）（M,ρ）为右H-余模;（3）ρ: M→M （?） H为右K-模同同态态.则称M为右（H,K）-弱Hopf模,记为MKH.定义3.1.3 :设K是H的子弱Hopf代数,M为任一空间。若M满足以下条件:（1）（M,（?））为右H-模;（2）（M,ρ）为左K-余模;（3）ρ: M→K （?） M为右H-模同同态态.则称M为（K,H）-弱Hopf模,记为KMH.定理3.1.1:设H为弱Hopf代数, K为H的子弱Hopf代数并且（?）K为代数同态.V为任一空间,则VK V （?） K可以构成右（H, K）（?）弱Hopf模.定理3.2.1:设H为弱Hopf代数,则（H, （?）H）为H（?）余模,并且Coinv H =L（H）定理3.2.2:设H为弱Hopf代数, K≤H. （M, （?）,ρ）为弱H（?） Hopf模.则（1） （1 （?）εH）ρ= （?）（1 （?） HR）ρ（2） （?）m∈Coinv M都有ρ（m） = m·1（1） （?） 1（2）（3） （?）（1 （?） S）ρ（M） （?） Coinv M并且, Coinv M为M的右HL（?）模.定理3.2.3:设H为弱Hopf代数,K为H的子弱Hopf代数.（N, （?）,ρ）为弱（H,K）–Hopf模.令N = Coinv N （?） K,则β: N （?）→N为弱（H,K）–Hopf模同构.n （?） k （?）→n·k定理3.3.1设H为弱Hopf代数,则由上述例子可知, （H,ρ）为右Hop （?） H（?）余模, （H, （?））为右Hop （?） H（?）模.定义ψ: H （?） H （?）→H （?） H则:h （?） l （?）→l（2） （?） S（l（1）） （?） l（3）（1）ψ（1 （?） MH） = （MH （?） 1）（1 （?）ψ）（ψ（?） 1）;（2）（1 （?） （?）H）ψ= （ψ（?） 1）（1 （?）ψ）（（?）H （?） 1）.