矩形纳米板作为一种典型的二维纳米结构,广泛应用于生物传感器、谐振器、存储设备、微型开关等,还作为一种重要的结构元器件被用于微/纳机电系统。然而,对于纳米尺度的结构,小尺寸效应不可忽视,经典连续介质力学并未考虑这一问题,为了克服这一局限,以非局部理论为代表的各种广义连续介质力学理论为研究此类结构提供了新的思路。由于非局部理论下纳米板的控制微分方程在数学上较为复杂,现有的研究多采用数值近似方法,或是采用传统解析方法来应对一些简单边界问题,对于复杂边界问题的解析求解一直以来是一个难题。本文基于Eringen非局部弹性理论,结合Kirchhoff经典薄板理论,建立非局部矩形纳米板模型,并将其弯曲、自由振动和屈曲问题导入Hamilton求解体系,合理利用辛—叠加方法求解各种边界条件下矩形纳米板问题。对于矩形纳米板的弯曲问题,本文通过构造广义位移和广义力作为对偶变量,建立了弯曲问题的Hamilton求解体系,并采用分离变量、辛本征展开等方法理性求得了两类基本问题的辛解析解,在此基础上,利用叠加法的思想得到了均布/集中载荷作用下,各种边界条件纳米板的弯曲解析解,数值算例结果与退化至经典板理论下有限元结果的一致性证明了辛—叠加方法的有效性和准确性。对于矩形纳米板的自由振动和屈曲问题,本文直接引入基本位移变量的对偶变量,建立了此类问题的Hamilton求解体系,并理性求得了对边简支、对边滑支两类基本问题的辛解析解。对于对边简支边界纳米板,直接求得固有频率及临界屈曲载荷解析解;而对于其他复杂边界,通过叠加基本问题的解得到了原问题的解析解。数值算例结果与已发表文献结果、退化至经典板理论下有限元结果进行对比,其一致性证明了辛—叠加方法的准确性。基于以上分析结果,本文还研究了非局部参数、边界条件、模态阶次、板长度等对纳米板振动和屈曲行为的影响。本文结合非局部理论,将辛—叠加方法由传统板壳问题推广至纳米板中,求得了矩形纳米板的弯曲、自由振动和屈曲问题的解析解,可为纳米板力学行为的研究提供参考,而且可作为数值方法和其他解析方法对比的基准。该方法通过将复杂边界的原问题拆分为几个简单边界的基本子问题,在Hamilton体系中利用辛几何法求解子问题,再利用叠加法使各物理量满足实际边界条件建立方程,进而得到复杂边界原问题的解析解。在此过程中,无需假设试函数,而是通过完全解析、理性的数学推导,通用性强,对该方法进一步扩展,有望得到更多复杂理论下、更多类型板壳问题的解析解。