【摘 要】
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微分方程的可积性既经典又现代,在天体力学、经典力学、量子力学以及黎曼流形上的测地流等众多研究领域都有广泛而重要的应用,因此引起了数学家和理论物理学家们的广泛兴趣,并成为科学研究的前沿和热点课题.本文利用微分Galois理论和Darboux可积性理论,研究几类微分动力系统的可积性与不可积性.第一章为绪论,主要概述微分动力系统的可积性与不可积性的相关理论.第二章,我们结合Morales-Ramis理论
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微分方程的可积性既经典又现代,在天体力学、经典力学、量子力学以及黎曼流形上的测地流等众多研究领域都有广泛而重要的应用,因此引起了数学家和理论物理学家们的广泛兴趣,并成为科学研究的前沿和热点课题.本文利用微分Galois理论和Darboux可积性理论,研究几类微分动力系统的可积性与不可积性.第一章为绪论,主要概述微分动力系统的可积性与不可积性的相关理论.第二章,我们结合Morales-Ramis理论和Kovacic算法,研究了 Nelson系统、双阱势能Hamilton系统和扰动椭圆振子Hamilton系统在Liouville意义下的不可积性,这三类系统虽然结构简单,但却蕴含丰富的动力学行为,数值结果表明是对系统参数在很大范围内存在混沌现象.具体来说,我们得到以下结果:1.Nelson 系统在Liouville意义下是不可积的;2.当αβ≠0时,双阱势能Hamilton系统在Liouville意义下是不可积的;3.当ε≠0时,扰动椭圆振子Hamilton系统在Liouville意义下是不可积的.这些结果从不可积性的角度出发,在某种程度上对系统所蕴含的复杂动力学行为给出了解释.第三章研究如下三维多项式系统的不可积性,该系统包含许多经典的三维微分系统.我们讨论了解析首次积分的存在性和不存在性,局部C1首次积分的不存在性,以及Bogoyavlenskij意义下的有理不可积性.第四章考虑Maxwell-Bloch系统的Darboux多项式.结合权齐次多项式理论和特征曲线法,分别在零场强情形和非零场强情形给出了 Maxwell-Bloch系统不可约Darboux多项式的较完整刻画,并得到了 Maxwell-Bloch系统的多项式和有理首次积分.
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