【摘 要】
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群是现代科学中最重要的数学概念和工具之一,研究群的基本工具是群表示论。作为有限群复表示理论的核心,特征标理论有两个比较活跃的研究方向：特征标、共轭类的算术性质和特征标对群结构的影响。本文的主要结果分为三部分。第一部分关于特征标维数和共轭类长度的算术复杂性,我们研究了特征标理论中的核心问题：Huppert的ρ-σ猜想及相关问题。首先我们改进了一般群上的ρ-σ猜想的结果,之前最好的结果是CasolO和
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群是现代科学中最重要的数学概念和工具之一,研究群的基本工具是群表示论。作为有限群复表示理论的核心,特征标理论有两个比较活跃的研究方向：特征标、共轭类的算术性质和特征标对群结构的影响。本文的主要结果分为三部分。第一部分关于特征标维数和共轭类长度的算术复杂性,我们研究了特征标理论中的核心问题：Huppert的ρ-σ猜想及相关问题。首先我们改进了一般群上的ρ-σ猜想的结果,之前最好的结果是CasolO和DOlfi得到的：对于一般群G,|ρ（G）|≤7(σ（G）,经过改进得到：|ρ（G）|≤6σ（G）+1,然后我们考虑了p-正则共轭类的Huppert的ρ’p—σ’p|司题,将可解群的问题约化到幂零-亚交换群的情况,并且在一定条件下部分解决了这个问题,最后我们将ρp—σp问题和ρ’p—σ’p|司题转化为一个数论问题,通过对数论问题的进一步研究,得到当p固定时,这两个问题可以解决。第二部分和第三部分关于特征标对群结构的影响。第二部分我们研究了特征标度重数对群结构的影响。若|Irr1（G）|—|cd1（G）|=k,称G为Dk-群。Berkovich等人分类了D0-群和D1-群,在此基础上我们完全分类了D2-群：若G是非可解的D2-群,则G同构于S5,A6,A7,A9,M22或A1o；若G是可解的D2-群,在同构意义下G为18种类型的有限群之-第三部分我们研究了特殊的特征标维数对群结构的影响。Thompson的p-幂零定理是有限群特征标理论中非常深刻的定理,B erkovich和Kazarin研究了Thompson群弱化的情况,即满足|Irr1（G,p’）|=1的有限群。在此基础上我们研究了满足条件：|Irr1（G,p’）|=2（p是奇素数）的非可解群。我们的结果是：如果非可解群G满足|Irr1（G,p’）|=2且p是奇素数,则p=3,G≌PSL2（7）或存在正规2-群N使得G/N≌PSL2（5）。
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