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概率论是一门研究随机现象中数量规律的科学，而随机现象在我们自然界和人们生活中无处不在.随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化的日益快速进程，概率论在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用，也获得了越来越大的发展动力.概率极限理论又是概率论的重要分支之一.本篇论文主要利用随机变量的截尾技术、常用不等式（如Jensen不等式、H(o)lder不等式、Cr不等式、Minkowski不等式、指数型不等式、Rosenthal-型不等式、极大值型不等式等），讨论了一些相依随机变量序列的概率不等式及其应用.
首先，我们讨论了Demimartingales（弱鞅）和N-demimartingales(N-弱鞅)的一些概率不等式.研究表明，自然σ-域下的鞅序列和均值为零的Associated序列的部分和序列是Demimartingales，反之不然.同样，自然σ-域下的鞅序列和均值为零的NegativelyAssociated序列的部分和序列是N-demimartingales，反之不然.所以自然σ-域下的鞅序列既是Demimartingales又是N-demimartingales.目前对鞅序列的研究已很成熟，获得了许多经典的结论，如Marshall不等式（比Kolmogorov不等式更精确）、上凸函数型不等式、下凸函数型不等式（可获得Doob不等式）等.本文将鞅序列已有的一些结论推广到Demimartingales和N-demimartingales情形，给出了Demimartingales和N-demimartingales的极大值型不等式，如Marshall-型不等式、上凸函数型不等式、下凸函数型不等式等.同时，我们也讨论了Demimartingales的极小值型不等式，并首次给出了Demimartingales的极小值Marshall-型不等式.另外，我们给出了N-demimartingales一些其他类型的不等式.最后我们总结了Demimartingales和N-demimartingales的一些相似之处和不同之处.我们的结论推广了Aebeko[1]、Garsia[26]、H(a)rremo(e)s[33]、Iksanov和Marynych[41]、Mu和Miao[64]相应的结论.
其次，假设{Zn}n≥1为一非负随机变量序列，其截尾随机变量满足Rosenthal-型不等式，记Xn=M-1nn∑i=1Zi，其中{Mn}n≥1为一正数序列.在适当的条件下，对任意实数a＞0和α＞0，给出了逆矩的渐近逼近形式E(a+Xn)-α～（a+EXn）-α，n→∞.我们称此模型为逆矩Ⅰ模型.同时在其他一些条件下，我们给出了逆矩Ⅰ模型的收敛速度|E(a+Xn)-α/(a+EXn)-α-1|=O(1/EXn),n→∞.进一步，对满足一定条件的函数f(x)，给出其逆矩渐近逼近形式E[f(Xn)]-1～[f(EXn)]-1，n→∞.另外，记(X)n=n∑i=1Zi.同样在适当的条件下，我们也给出了其逆矩的渐近逼近形式E（a+(X)n）-α～（a+E(X)n）-α，n→∞.我们称此模型为逆矩Ⅱ模型.这里指出逆矩Ⅰ模型和Ⅱ模型互不包含，可应用到不同实际领域中去.在其他一些条件下，我们给出逆矩Ⅱ模型的收敛速度|E(a+(X)n)-α/(a+E(X)n)-α-1=O（(√)n/E(X)n），n→∞.类似地，对满足一定条件的f(x)，给出其逆矩逼近形式E[f((X)n)]-1～[f(E(X)n)]-1，n→∞.例子表明，利用逆矩Ⅰ和Ⅱ模型的相关结论很容易处理常见随机变量相应的逆矩计算问题.我们逆矩Ⅰ模型和Ⅱ模型的结论推广和改进了Shi等[87]、Sung[92]、Wang等[103]、Wu等[109]相应的结论.
第三，在一些简洁的条件和较弱的混合系数条件下，我们讨论了α-混合样本分位数的渐近性质.例如，对某个β＞3，如果α（n）=O（n-β），我们研究了α-混合样本分位数的Bahadur表示，给出其收敛速度O(n-1/2(loglogn·logn)1/2).进一步，若对某个δ＞0和β＞max{3+5/1+δ，1+2/δ}，有α（n）=O（n-β），则其收敛速度为O（n-3/4+δ/4(2+δ)（loglogn·logn）1/2）.另外，如果α（n）=O（n-7/4），则我们给出了α-混合样本分位数的Berry-Esséen界O(n-1/9）.进一步，若加强混合系数要求α(n)=O(n-39/11），则其Berry-Esséen界为O(n-1/6·logn).我们有关α-混合样本分位数的Bahadur表示和Berry-Esséen界的结论分别推广了Wang等[99]和Lahiri和Sun[48]相应的结论.
最后，当误差{ξn}n≥1满足一些一般性的条件时，我们讨论了非线性回归模型未知参数θ的最小二乘估计的问题.利用误差{ξn}n≥1的一些矩信息量，我们给出了未知参数θ的最小二乘估计θn的一些概率不等式.例如在一定的条件下，对所有ρ＞0和所有n≥1有P(n1/2|θn-θ0|＞ρ)≤C(p)/np/2ρ-p(nΣi=1E|ξi|p+(n∑i=1(E|ξi|p)2/p)p/2），p＞2，P(n1/2|θn-θ0|＞ρ)≤C(p)/np/2ρ-pnΣi=1E|ξi|p,1＜p≤2.我们给出了一些例子，对某个p＞1，当误差supn≥1E|ξn|p=∞或supn≥1E|ξn|p＜∞时，我们的结论仍然适用或可获得到更小的上界.当误差{ξn}n≥1是(ρ)-混合序列、NOD序列、AANA序列及Lp-mixingale序列时，我们同样获得了非线性回归模型的未知参数θ的最小二乘估计θn的一些概率不等式.我们的结论推广和改进了PrakasaRao[70]相应的结论.