本文运用变分方法研究了几类Hamilton系统与椭圆边值问题解的存在性和多重性.　　首先，研究了如下一阶Hamilton系统-J(u)-B(t)u=▽H(t，u)(BHS)其中B(t)是一个对称2N×2N阶矩阵，关于t是连续且T-周期的，H∈C1（R×R2N，R）关于t是一个T-周期函数，J=(0-IN IN0)是标准的2N×2N辛矩阵，IN是N×N单位矩阵，▽H(t，z)=(a)H(t,z)/(a)v.应用局部环绕定理和广义山路引理，得到了系统(BHS)周期解及次调和解的存在性结果.　　其次，研究了如下p-Laplace系统　　｛d/dt(|(u)(t)|p-2u(t))+▽G(t，u(t))=0，(PLS)u(0)-u(T)=(u)(0)-(u)(T)=0,其中p＞1，T＞0，对任意x∈RN，G:[0，T]×RN→R关于t是T周期的.通过临界点理论中的极小极大方法，证明了系统(PLS)存在无穷多个周期解的两个存在性定理.　　接着，考虑了如下的二阶系统　　｛d/dt(|(u)1(t)|q-2(u)1(t))=▽u1F（t，u1(t)，u2（t)），d/dt(|(u)2(t)|p-2(u)2（t））=▽u2F(t，u1(t)，u2(t))， a.e.t∈[0，T]，(QPS)u1(0)-u1(T)=(u)1(0)-(u)1(T)=0，u2(0)-u2(T)=(u)2(0)-(u)2(T)=0,其中1＜p，q＜∞，T＞0，|·|表示RN中的欧几里得范数.F:[0，T]×RN×RN→R.利用极小作用原理和鞍点定理，得到了关于周期解存在性的两个定理.　　然后，研究了如下的椭圆系统　　｛-Δu=Hv(u，v，x)， x∈Ω，-Δv=Hu（u，v，x）， x∈Ω，(HES)u=0.v=0, x∈(a)Ω，其中Ω是RN中的一个带光滑边界(a)Ω的有界开集，Hu表示H关于u的偏导数.通过一个改进的广义山路引理，证明了系统(HES)在超二次情形下非平凡解的存在性.　　第六章中，考虑了Dirichlet边值问题　　｛-Δu+ a(x)u=f(x，u)， x∈Ω，(EP)u=0， x∈(a)Ω，其中Ω(∈)RN(N≥3)是一个有界光滑区域，a∈Lp（Ω，p＞N/2,f∈C(Ω×R，R)及F(x，u)=∫u0 f(x,s)ds.利用一个版本的局部环绕定理及喷泉定理，证明了方程(EP)超二次情形下解的存在性和多重性结果.　　最后，研究了如下带非线性边界条件的p-Laplace型方程　　｛-div(a(x,▽u))+b(x)|u|p-2u=λf（u）， x∈Ω,(PNE)|▽u|p-2(a)u/(a)v=μg（u）， x∈(a)Ω，其中Ω(∈)RN是一个带光滑边界(a)Ω的有界区域，λ，μ∈R，1＜p＜N，f和g:R→R是连续函数.这里，非线性项a:Ω×RN→RN满足一些结构性条件.其中最简单的情形是a(x，t)=|t|p-2t，p≥2.此时(PNE)退化为一个带非线性边界条件的p-Laplace方程.(a)/(a)v是外法向导数.b(x)∈L∞(Ω)满足b=essinfx∈Ωb(x)＞0.通过一个三临界点定理，证明了方程(PNE)有至少三个弱解.