【摘 要】
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1970年,Stein在“第十六届国际数学家大会”上提出利用群分析研究H?rmander型偏微分算子的思想,从此Carnot群上各种偏微分算子逐渐成为新的研究热点。本文主要研究Carnot群上Schr?dinger型算子和抛物Schr?dinger型算子的Orlicz估计,以及具不连续系数Schr?dinger型算子的Lp估计。本文由以下三部分组成。第一部分（第二章和第三章）研究Carnot群上如
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1970年,Stein在“第十六届国际数学家大会”上提出利用群分析研究H?rmander型偏微分算子的思想,从此Carnot群上各种偏微分算子逐渐成为新的研究热点。本文主要研究Carnot群上Schr?dinger型算子和抛物Schr?dinger型算子的Orlicz估计,以及具不连续系数Schr?dinger型算子的Lp估计。本文由以下三部分组成。第一部分（第二章和第三章）研究Carnot群上如下形式的Schr?dinger型算子其中X1,X2,,Xm是Carnot群G上的基水平向量场,位势V（x）属于反向H?lder类。对位势V（x）属于反向H?lder类RHq（G）,我们将欧氏空间中的迭代-覆盖方法改进到Carnot群上,证明了与算子L相关的迭代-覆盖引理,从而得到了算子L的整体Orlicz估计。对位势V（x）属于反向H?lder类RH∞（G）,证明了与算子L相关的加权形式的迭代-覆盖引理,以及证明了与Carnot群上次Laplace算子相关的加权形式的迭代-覆盖引理,并结合Muckenhoupt权的性质,得到了Schr?dinger型算子L的加权整体Orlicz估计和次Laplace算子A的加权整体Orlicz估计。第二部分（第四章）研究Carnot群上抛物Schr?dinger型算子的Orlicz估计,其中位势V（x）不依赖于时间变量且属于反向H?lder类。首先证明了与算子P相关的迭代-覆盖引理,然后证明了齐次方程Pu=0解的局部L∞估计,从而建立了算子P的整体Orlicz估计。第三部分（第五章和第六章）研究Carnot群上具不连续系数Schr?dinger型算子的Lp估计,以及欧氏空间中带位势和具不连续系数高阶椭圆方程解的Lp估计。首先,我们引入Carnot群G上的广义Stummel-Kato型函数类Sp（G）,验证了集合Sp（G）包含一些奇异位势。然后,在G中的度量球上建立了一个二阶Fefferman-Poincaré型不等式,并利用这个不等式得到了如下具不连续系数Schr?dinger型算子的Lp（G）估计,其中位势V（x）属于广义Stummel-Kato型函数类。最后,引入欧氏空间Rn中的广义高阶Stummel-Kato型函数类,在Rn中的弱Boman链域上建立了高阶Fefferman-Poincaré型不等式,得到了欧氏空间中带位势和具不连续系数高阶椭圆方程解的Lp（Rn）估计。
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