2004年，Green与Tao证明了素数中存在任意长的非平凡算术级数。这是近几年来数论中的重大突破之一。早在1927年，vanderWaerden证明了，如果所有自然数被用κ种颜色着色，那么对任意整数l≥3，存在长度为l的同色算术级数。vanderWaerden定理是组合数论中的重要结果之一。受此结果的启发，Erdos与Turán猜测，如果自然数集A满足那么A中包含任意长的算术级数。Roth首先证明此猜想对三项算术级数成立。而这个猜想在1975年由Szemerédi完全解决。Szemerédi定理是一个十分深刻的结果，它与数论、组合、遍历理论、调和分析等数学分支都有着重要的联系。Erdos与Turán又进一步猜想，如果自然数集A={a1，a2…}(这里a1＜a2＜…)满足级数∑∞i=1/ai发散，那么A中包含任意长的算术级数。显然Erdos-Turán猜想蕴含了素数中存在任意长的算术级数。 另一方面，1939年，vanderCorput利用Vinogradov关于素变量三角和的估计，证明了素数中包含无穷多的非平凡三项算术级数。2003年，Green证明了一个Roth型的vanderCorput定理。用P表示全体素数的集合。对素数集A，定义Green证明了如果dp(A)＞0，那么A包含无穷多的三项算术级数。一年后，利用Goldston和Ylldrim的一个结果，Green与Tao完全解决了素数中的算术级数问题。他们证明中的一个主要思想是一种转换原理，也就是将素数中的一个正密率子集转换到ZN=Z/NZ(这里N是一个大素数)中的一个正密率子集，从而可以运用Szemerédi定理。 注意到vanderCorput定理的证明事实上是和著名的Vinogradov三素数定理(也就是充分大的奇数都可以表示成三个素数的和)是完全类似的。因此有理由相信，Green-Tao的转换原理也可以运用到三素数定理的证明当中。在这里我们将证明如下密率型的Vinogradov三素数定理：定理1.设P1，P2，P3为P的三个子集，满足dp(P1)+dp(P2)+dp(P3)＞2，这里那么对充分大的奇数n，存在P1∈P1，P2∈P2，P3∈P3，使得n=P1+P2+P3。 以上结果在一定意义下是最好的：令P1=P2={p∈P:p≡1(mod3)}，P3=P＼{3}。显然dp(P1)+dp(P2)+dp(P3)=2。而所有6κ+5型奇数都不在和集P1+P2+P3中。 1978年，Furstenberg和Sárkozy分别独立证明了如果自然数集A满足d(A)＞0，那么存在x，y∈A以及正整数z，使得x-y=z2。在同年的另一篇文章中，Sárkozy还证明了如果自然数集A满足d(A)＞0，那么存在x，y∈A以及素数p，使得x-y=p-1。以下我们的结果统一了Sárkozy的两个定理：定理2.设砂(x)为常数项为0的整系数多项式。A为满足d(A)＞0的自然数集。那么存在x，y∈A以及素p，使得x-y=ψ(p-1)。 进一步，利用Green-Tao的转换原理，我们有定理3.设ψ(z)为常数项为0的整系数多项式。A为满足dp(A)＞0的素数集。那么存在x，y∈A以及素数p，使得x-y=ψ(p-1)。 2003年，Khalfalah与Szemerédi证明：设ψ(z)为常数项为偶数的整系数多项式。如果所有正整数被用κ种颜色着色，那么存在同色相异的x，y以及整数z满足x+y=ψ(z)。此结果解决了Erdos，Roth，Sárkozy与Sós的一个猜想。这里我们将利用转换原理证明：定理4.设ψ(z)为常数项为偶数的整系数多项式。如果所有正整数被用κ种颜色着色，那么存在同色相异的x，y以及素p满足x+y=ψ(p-1)。 类似地，对于素数的着色，我们有：定理5.设ψ(z)为常数项为偶数的整系数多项式。假设对任意素数p，存在0≤cp＜p-1使得1/2ψ(Cp)不被p整除。那么如果所有素数被用κ种颜色着色，存在同色相异的素数x，y以及素数p满足x+y=ψ(p-1)。 Schur定理是组合数论中的另一个重要结果。如果所有正整数被用κ种颜色着色，那么Schur定理断言存在同色的x，y，z满足x+y=z。我们将对素数证明一个Schur型的定理：定理6.如果所有素数被用κ种颜色着色，那么存在同色的P1，P2，P3满足P1+P2=P3+1。