遍历性和大偏差理论是马尔科夫过程理论中的重要内容,它们之间有着密切的联系。本论文研究的马尔科夫过程一般不具备通常意义下的遍历性,我们主要研究它们的条件遍历性（我们称之为拟遍历性）和大偏差,以及相关问题。首先,我们研究吸收布朗运动的三种拟遍历性质：分布意义下的拟遍历性、分式拟遍历性和Birkhoff意义下平均拟遍历性。我们证明了相应的拟遍历性定理,且分别对应唯一极限概率分布：拟平稳分布、分式拟平稳分布、平均拟平稳分布。却呈现一种相变现象：分式拟平稳分布与拟平稳分布不同。分式拟平稳分布与平均拟平稳分布相同,并且是吸收布朗运动极限扩散过程的唯一平稳分布。这三个极限分布都不同于其对应L2半群的对称测度：区域上的均匀分布。我们还证明了一个具有独立意义的结果：任意Feller马尔科夫过程的每个Yaglom极限一定是拟平稳分布。其次,我们证明了拟遍历速度、分式拟遍历速度和其极限扩散过程的遍历速度都通过Dirichlet特征函数,由初始位置和拉普拉斯算子的Dirichlet特征值刻划。这里的特征值可能是高阶（3阶及以上）的。我们以一维吸收布朗运动为例,说明了以上结论。接着,我们研究了吸收布朗运动形如∫0tV（Xs）ds的偏差不等式。我们给出了V属于Kato类时的偏差不等式,在一定条件下我们给出了条件偏差不等式的负指数界。特别当V有界连续时,与大偏差结果作比较,我们的结果是渐进最优的。最后,我们研究吸收布朗运动经验分布的大偏差行为。我们首先指出其速率函数的唯一极小点就是平均拟平稳分布,而此极小值就是Dirichlet主特征值。然后我们证明了局部一致大偏差下界,给出了新的主特征值变分公式和加强形式的弱大数定律。最后我们给出了吸收布朗运动极限扩散过程的大偏差原理,速率函数是相应Dirichlet型,与吸收布朗运动条件大偏差的速率函数相同。