偏微分方程形式的数学模型是数学、科学和工程界里面极为有用的工具,发展稳健、高效和高精度的数值方法来模拟它们的解仍然是一项具有挑战性的任务。近几十年以来,双曲型偏微分方程的高阶数值方法,例如间断伽辽金（DG）方法和加权本质无振荡（WENO）重构方法得到了广泛的发展。这些高阶数值方法进一步发展的一个重要并具有挑战性的方向是确保结构保持特性,即发展高阶数值方法,它可以精确地保持底层模型的某些结构或其它基本连续体特性。本论文由三个部分组成,第一个部分是关于一维、二维Green-Naghdi方程的保正且保平衡中心间断伽辽金（CDG）-有限元方法,Green-Naghdi方程是欧拉方程基于浅水假设下的近似模型,是一类非线性的弱色散浅水波方程。第二个部分是关于二维非线性浅水波方程与泥沙输移方程的耦合系统的保正且保平衡中心间断伽辽金方法,该耦合系统可用于研究可蚀河床上的浅水流动问题。第三个部分是关于变密度不可压缩Navier-Stokes方程的高阶保界间断伽辽金-有限元方法。数值上求解Green-Naghdi方程通常会面临三个问题。一是该模型的通量和源项中包含有对时间与空间的混合导数。二是该模型与非线性浅水波方程一样,拥有静水稳定解,对于该稳定解,方程的通量非零,可是被源项所平衡,而且通常的数值方法并不能保持通量与源项的平衡,所以当遇到与稳定解相关的问题时可能会产生数值震荡。三是当问题涉及到干区域或者几乎干的区域时,随着水波的运动,数值方法会产生负的水深。为了克服以上问题,我们首先将Green-Naghdi方程改写为一个平衡律和一个椭圆型方程的耦合系统,从而消除了通量与源项中时间与空间的混合导数。然后分别提出了一个保平衡的中心间断伽辽金-有限元方法和一个保正（水深非负）的中心间断伽辽金-有限元方法,前者用于保持通量与源项的平衡,后者用于保持水深的非负性。最后,我们提出了一个保正且保平衡的中心间断伽辽金-有限元方法,用于同时保持通量与源项的平衡以及水深的非负性。数值上求解二维非线性浅水波方程与泥沙输移方程的耦合系统依然会面临两个问题。一是静水稳定解的问题,二是体积含沙量的非负性问题。因此,我们首先提出了一个保平衡的中心间断伽辽金方法用于保持通量与源项的平衡,然后提出了一个保正的中心间断伽辽金方法用于保持体积含沙量的非负性。数值求解变密度的不可压缩Navier-Stokes方程的时候,往往需要保持密度的上下界,尤其是涉及到高密度比的问题。要想设计这种保界的高阶精度数值格式,可以采用带有保界限制器的高阶间断伽辽金方法或者有限体积方法去离散密度方程,采用任意别的流行的数值方去离散动量方程和压力方程。我们将使用间断伽辽金方法和有限元方法的一个结合,具体地说,就是用间断伽辽金方法去离散密度方程,用有限元方法去离散动量方程和压力方程。