Krylov子空间方法是当今著名的十大算法之一,对处理大型稀疏线性系统非常有用,因此对其进行深入研究具有重要意义。Krylov子空间方法的收敛性与求解线性系统的特征信息分布有密切联系,奇异值是求解线性系统的重要特征信息,因此对求解线性系统的奇异值进行研究意义重大。广义逆与奇异值密切相关,本文第二章从最小多项式入手,寻找到包含奇异线性系统Ax=b最小范数解的解空间,得到只需通过计算相异奇异值来求解广义逆的计算公式。最小范数解可由奇异值、A和b三者表示并从理论上对最小二乘QR分解算法(LSQR)收敛性进行了分析。结果表明LSQR算法的收敛性与矩阵A的非零奇异值密切相关:利用LSQR算法求解奇异线性系统Ax=b,若无误差的影响,记A的非零奇异值个数为k_ρ,则LSQR算法将最多k_ρ步收敛到最小二乘解。众所周知,基于迭代求解的思想,至今多种Krylov子空间变型方法被提出,但迭代方法容易产生误差累积效应,造成停滞现象以及不规则振荡现象。采取重启措施可以打破迭代的某种“不理想”循环,释放大量储存空间并且从新的残量下降方向进行迭代,对于停滞现象以及不规则振荡现象是有帮助的。但在释放空间的同时,也会抛弃之前迭代生成的大量有用信息,从而影响收敛速度。本文第三章研究了采取重启策略的Krylov子空间方法的典型代表GMRES(m)方法。该算法对于求解非对称线性系统是非常有效的。研究工作集中在GMRES(m)的迭代解每次重启时的变化量上,也是重启之后所抛弃掉的有用信息,利用已抛弃的信息进行投影加速Krylov子空间算法,并提出了基于误差方程的GMRES(m)方法的扩展版,该算法被命名为LGMRES(m)。并在GMRES(m)算法中引入回溯重启技术得到LBGMRES(m)算法,在LGMRES(m)算法中加入回溯重启技术得到LLBGMRES(m)算法。LLBGMRES(m)算法、LBGMRES(m)算法、LGMRES(m)算法和GMRES(m)算法四种算法的对比数值实验结果表明,在时间和精确度上,LGMRES(m)算法和LLBGMRES(m)算法的收敛性优于传统的重启Krylov子空间算法,LGMRES(m)算法优于LBGMRES(m)算法,采取投影法加速取得了较好的加速效果。