【摘 要】
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Monge-Ampère型方程是一类重要的完全非线性二阶偏微分方程,它最早是由Monge[23]和Ampère[1]提出,后来Bernstein,Pogorelov,Nirenberg等也做了深入研究.Monge-Ampère型方程源于最优运输问题,在微分几何中也广泛应用,例如Weyl问题[22]和Minkowski问题[32].Monge-Ampère型方程也应用于仿射几何,共形几何,几何光学等
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Monge-Ampère型方程是一类重要的完全非线性二阶偏微分方程,它最早是由Monge[23]和Ampère[1]提出,后来Bernstein,Pogorelov,Nirenberg等也做了深入研究.Monge-Ampère型方程源于最优运输问题,在微分几何中也广泛应用,例如Weyl问题[22]和Minkowski问题[32].Monge-Ampère型方程也应用于仿射几何,共形几何,几何光学等.深入研究Monge-Ampère型方程可以进一步了解完全非线性偏微分方程.本文研究了抛物型Monge-Ampère型方程的Cauchy-Neumann问题.通过构造辅助函数,利用极值原理得到解的最大模估计和梯度估计,以及二阶导数估计.再利用连续性方法得到解的存在性.本文分为三个部分:第一章给出了Monge-Ampère型方程的研究背景,意义,国内外研究现状和已有的主要结论.第二章介绍了强极值原理,弱极值原理和先验估计,并简单介绍了与Monge-Ampère型方程相关的一些基本记号以及基本的定义.第三章证明了解的最大模估计,梯度估计,以及二阶导数估计并利用抛物方程的一般性理论以及连续性方法简单说明了光滑解的存在性,唯一性和正则性.
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