随着科学与技术的发展,张量在信号处理、图像处理、非线性优化、高阶统计学、数据挖掘等领域有着广泛的应用。科学与工程计算中的许多问题都可以表示成张量-向量积的形式,我们一般称之为张量方程。同时张量优化中的张量特征值互补问题和高阶马尔科夫链的极限概率分布问题也可以转化为解张量方程,本文主要针对以下三类张量方程提出相应快速有效的优化算法。具体内容如下:在第二章主要提出一种超线性收敛算法来解形如Ax^m-1=b的张量方程,这种张量方程可以看成是矩阵方程Ax=b的一种自然推广。我们首先将张量方程转化为一个最小二乘问题,并用Gauss-Newton法解这个最小二乘问题,同时该算法也可用来解一般的张量方程。在一定条件下,本章给出了算法的全局收敛性以及超线性收敛速率。最后,在数值实验中,我们将张量方程分别应用到解非负张量的最大特征值问题、张量互补问题的最稀疏解上,实验结果验证了我们算法的有效性和优越性。在第三章主要研究张量特征值互补问题的快速优化算法。张量特征值互补问题可以看成是矩阵特征值互补问题的高阶推广,本章通过引入NCP函数的光滑化近似函数将张量特征值互补问题转化为解光滑化张量方程组,然后提出一种新的光滑化牛顿法解这个张量方程组。在一定条件下,算法的收敛性可由已经存在的结论得到保证。数值实验结果表明本章所提的算法是有效的。在第四章主要研究高阶马尔科夫链的极限概率分布问题,该问题可以看成是一个转移概率张量方程。在一定的假设条件下,我们将高阶马尔科夫链转化为一阶马尔科夫链问题,然后在幂法的基础上提出了一种二次外推法解这个一阶马尔科夫链问题。在适当的条件下,建立了二次外推法的收敛性分析。数值实验结果表明我们算法的收敛速度比幂法更快。