生物数学是一门数学与生物学交叉的学科,通过建立数学模型研究生物种群的演化与调控。随着工业化的高速发展,人们逐渐认识到生态环境的重要性。为了保护生物多样性、维护生态平衡与合理利用资源,国内外的学者们建立了大量的数学模型。这些模型大致分为两大类:连续模型与离散模型。对于某些种群来说,用离散模型来描述种群的演化规律是较为方便的。本文建立了一类非线性离散等级结构种群模型,主要研究内容由第二章与第三章构成。第二章研究了非线性离散等级结构种群的演化行为。首先建立种群模型,分析模型解的基本性质,如非负有解性、正平衡态的存在唯一性、正平衡态的位置估计、定义种群再生数R~0,获得结论:当R~0≤1时,模型无正平衡态;当R~0>1时,模型有唯一的正平衡态。其次研究了平衡态的稳定性,利用本原矩阵分别研究了零平衡态与正平衡态的渐进稳定性条件;利用Lyapunov函数分析了零平衡态与正平衡态的全局稳定性并给出了判定条件。另外,文中还分析了模型不存在-2周期解的情况,得出了一组条件。最后进行了数值模拟,用于验证理论结果。第三章主要讨论了种群系统的能控性与最优收获问题。首先利用比较原理研究了种群系统的于上能控性和于下能控性,并且利用不动点原理给出了系统精确能控的条件。其次分析了系统的镇定性质。之后探讨种群的最优收获问题,证明最优收获策略的存在性,利用离散最大值原理给出了最优收获的必要条件,以及三种特殊情况下的最优收获策略的具体表示。为了使种群持续发展人类取得最大收益,文中分析了当种群处于平衡态时的最优收获策略。最后用数值方法考察个体经济价值、等级变化率对最优收益的影响。