在过去的几十年中,许多数学工作者(例如A.Nica<[7]>,M.Laca<[4]>,<[16]>,I.Raeburn[5]等)都对定义在离散群上的Toeplitz代数作了深入而且广泛的研究.该文的主要目的是通过对相关Toeplitz代数的诱导理想的刻划来研究Toeplitz代数的纯无限性质.该文共分五节.前两节分别给出了几个重要的基本概念(拟格序群和可传定向集等)以及与它们各自相关的命题.第三节的主要目的是对Toeplitz算子代数间自然的同态成为C*-代数同态进行说明.其主要任务是为刻划Toeplitz代数TG+的诱导理想奠定基础.对任意的拟格序群(G,G<,+>),假设E是G的一个包含G<,+>子集,那么我们可以得到两个相关的Toeplitz代数TG+TE.定理3.2.1给出了γE,G+:TG+→TE作为C*代数同态的充分和必要条件足:存在G+的可传定向子集H,使得E=G<,+>·H<-1>.该节里的定理3.3.1还从另一个角度给出了一个充分必要条件.设G为一个离散群,E1,E2是G的两个子集,满足E1( )E2,并且e∈E2,定理3.3.1指出TE1与TE2间的自然同态γE2,E1(满足对任意的g∈G,γ,(TE1g)=TE2g)成为C*-代数同态的充分必要条件是E2被E1有限协变提升.第一、二、三节是该文的基础部分,详细内容可以参考[6]、[27].第四、五两节是该文的主要结果部分.设(G,G+)为拟格序群,Ω表示G+的所有非空可传定向集全体.H∈Ω,ΩH表示由H生成的Ω的闭θ-不变子集全体.(公式略)D+def=closp{TGg+TG+g-1|g∈G+}是TG+的一个交换C*-子代数.A.Nica和I.Raeburn等曾对TG+的诱导理想进行过研究.在第四节中我们指出DG+的理想IΩH可以表示为C*-同态核Kerγ<,H>,<,+>与D<,+>的交集形式,从而得到了TG+的诱导理想JΩH就是Kerγ<,H>,<,+>(定理4.2.1).第五节主要目的是研究Toeplitz代数的纯无限性质.设Ω∞表示Ω中的极大元全体(即G<,+>的极大的可传定向集全体).Ω∞在Ω中的闭包定义为Ω的边界,以( )Ω∞表示.该节将说明当( )Ω∞≠Ω时,如果对任意x,y∈G<,+>,x≠y,存在g∈G<,+>,满足那么对任意H∈ ∞,Toeplitz代数TGH都是纯无限的(定理5.1).另外,当( )Ω∞≠Ω时,T不是简单的.由此,尽管J( )Ω∞是T的最大的诱导理想,但该节的命题5.1还将说明J( )Ω∞不是T的最大理想.