有关椭球的等周及逆等周问题研究

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本硕士论文的研究内容属于Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowski理论领域,致力于凸体几何中的极值问题的研究.本硕士论文利用凸几何分析中的凸体理论来研究极值问题和等周不等式,涉及Ball-Barthe不等式,迷向测度,正弦椭球等问题.本文主要对三个问题进行研究,第一个问题是关于混合LYZ椭球的Mahler猜想.第二个问题是正弦椭球的迭代问题.第三个问题是新椭球的体积不等式.本文第一章主要给出了一些凸几何发展的背景知识、研究问题和成果.第二章给出了一些基本的定义、引理和常用不等式.本文第三章的主要内容是推广了LYZ椭球的Mahler猜想,建立了混合LYZ椭球的体积不等式,且得到了关于体积V(Γ-2(K,L))V(L*)的严格下界.通过定义迷向测度μ(·):=n VK,L(·)/hL2(·)VK,L(Sn-1)及引入迷向嵌入的定义,我们证明了一个关键引理,证明了定义的单位q:Sn-1→Sn是迷向嵌入.结合LYZ椭球的体积不等式的证明方法,得到了V(Γ-2(K,L))V(L*)的严格下界.本文第四章是对第二个问题的研究,将建立正弦椭球Λ2K和Λ-2K的体积不等式及迭代不等式.根据对正弦椭球的定义及性质的研究,结合LpBrunn-Minkowski理论和对偶理论,我们建立了正弦椭球Λ2K和Λ-2K的体积不等式,最后,我们给出了正弦椭球算子迭代不等式.本文第五章是对第三个问题的研究,将建立椭球Υ-2,q(K,L)的体积不等式.根据LYZ椭球的定义和Lp对偶曲率测度,我们引入新椭球Υ-2,q(K,L).结合Brunn-Minkowski不等式、对偶Brunn-Minkowski不等式,我们建立了新椭球的体积不等式及等式条件.
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