【摘 要】
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不定方程是数论中最古老的分支之一,历史上很多著名的数学问题都与此类方程有关.从古到今,许多数学家都曾对此做出了卓越的贡献.正是这些重大的成果不但丰富了不定方程自身的内容,而且为现代离散数学,代数几何,组合数学,密码学等学科的发展奠定了基础.尤其是数学家kummer在引进了理想数的概念之后,使得与此有关的研究取得了突破性进展.由于不定方程的推动,代数数论得到了最初的形成和发展.在二次域中,理想,单位
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不定方程是数论中最古老的分支之一,历史上很多著名的数学问题都与此类方程有关.从古到今,许多数学家都曾对此做出了卓越的贡献.正是这些重大的成果不但丰富了不定方程自身的内容,而且为现代离散数学,代数几何,组合数学,密码学等学科的发展奠定了基础.尤其是数学家kummer在引进了理想数的概念之后,使得与此有关的研究取得了突破性进展.由于不定方程的推动,代数数论得到了最初的形成和发展.在二次域中,理想,单位数,类数等对不定方程的研究起着举足轻重的作用.对于不定方程x~2 + D = yn,在二次域中,如果Q （ （?） ）的类数为1,可以用整数环的唯一分解定理直接求解;如果Q （ （?） ）的类数不为1,本文主要讨论了Q （ （?） ）的类数为2的情形,先借助理想数的唯一分解定理分类讨论,再利用方幂归纳法,同余的性质和二次域的性质求得方程的解.本文利用代数数论的方法,主要研究了不定方程x~2 + 13 = yn（ 0 < y< 100）解的情形,其中包含四个章节的内容.第一章概述了不定方程x~2 + D = yn的国内外研究现状和本文的主要内容.第二章介绍了一些主要的相关定义、性质、定理.第三章主要证明了不定方程x~2 + 13 = yn（ 0 < y< 100）解得过程,其中包含三节内容.第一节证明了不定方程x~2 + 13 = yn（ 0 < y< 100）有解的充要条件.第二节证明了当y为奇数,即y = 17,29,49,77,不定方程x~2 + 13 = yn解的情况.第三节证明了当y为偶数,即y = 14,22,38,62,94,不定方程x~2 + 13 = yn解的情况.第四章是对全文的回顾以及对未来工作的展望.
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