双曲空间与在其基础上建立的等距映射群是离散群几何的重点内容，而讨论二元生成子群的离散性对于研究群的性质有重要的作用.本文首先讨论了双曲三角形中的一些特殊测地线是否相交于一点的问题，例如三角形中的垂直平分线、中线以及垂线这些特殊的测地线.从而得出三个与欧氏几何相似的结论.应用测地线束的知识，还可以得出这些特殊的测地线是否属于同一测地线束的结论.其次，研究了实双曲空间的等距映射群中，对于生成群为离散群，且两个生成元为非抛物变换时，生成元参数之间的关系，以及生成元的位移长度和旋转角满足的关系式.本文在F.W. Gehring, G.J. Martin研究的基础上不仅得出较弱条件下成立的结论，也分别得到了对应生成元的轴之间不同位置关系下的相应结论.另外基于二元生成群的讨论，对于由f, g PSL(2,C)生成的群，当f是椭圆元素，g是斜驶元素时，本文得出当f, g之间的轴距离(f,g)满足一定关系时，所生成的群f,g是离散非初等的.本文还给出了对于8字纽结群或两桥型链环群，如果生成元之间是共轭的，则这两个元素必然是抛物元素.另外利用与之相同的方法，还可以得到两个生成元之间的迹满足一定关系时，生成元的可能类型.最后，在以上对实双曲空间中的几何以及其中等距映射群的讨论基础之上，继续考虑复双曲空间以及四元数双曲空间中是否有类似的结论成立.本文主要考虑了在复双曲空间中利用J rgensen不等式研究二元生成群中的边界椭圆元素有精确不变的管状邻域，在四元数双曲空间中可利用相同的方法得到相似的结论.