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1背景
高三复习课以解题教学为核心，在有限的45分钟课堂内高效的教学，课外精心选题很关键，高考试题往往是备课者青睐的对象，对同一个数学问题，教师若能引导学生从不同角度进行思考，克服就题论题，将其问题一般化。往往会使学生获得多种不同的解题思路和途径。这不仅对帮组学生训练基本技能、追求最优解法是十分必要的，而且对培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性、探究发现能力以及综合运用知识的能力都有着及其重要的作用。
本文笔者选择2014年湖北理科第9题作为典型例题，谈谈多元最值问题的解法。
题目 已知[F1，F2]是椭圆和双曲线的公共焦点，[P]是他们的一个公共点，且[∠F1PF2=π3]，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.[433] B.[233] C.3 D.2
2 解法探究
此题将椭圆和双曲线两种圆锥曲线相结合，以离心率和最值设问，常规中有创新，题目叙述简洁。
为了统一，我们先规定如图，由对称性不妨取点P在第一象限，设椭圆的长轴长为[2a1]，双曲线的实轴长为[2a2]，公共焦距为[2c]，[F1]，[F2]分别为左右焦点，[PF1=m]，[PF2=n]，
由椭圆和双曲线的定义可知[m+n=2a1m-n=2a2]推出
[m=a1+a22 ] ①
[n=a1-a22] ②
又由条件及其余弦定理有[4c2=m2+n2-mn] ③
求离心率倒数之和为[a1c+a2c]=[a1+a2c] ④
教师：如何求多元的最值呢？基本的是思路结合圆锥曲线定义及条件消元，或换元进而用函数的思想，或者利用基本不等式求最值。
学生：因为①④里面都有有[a1+a2]这个结构，联立①④消去[a1+a2]两个未知量，得到关于[m]，[n]的一个式子，减少未知量再观察。
教师：很好，这位同学观察能力很强，这样就减少了一个元，[a1+a2c=mc]但是[c]呢？③里面[c]是平方，如何用？
学生：先求[a1+a2c]的平方
顺着这一颇为自然的思路走下来，在师生的共同努力下完成了下列解法：
解法1：
[（a1+a2c）2]=[（mc）2]=[4m2m2+n2-mn]=[4nm2-nm+1]=[4nm-122+34][≤163]
所以[a1+a2c][≤433]，答案为A
教师：解法1利用换元法，把目标转换成了一个二次函数，利用配方法求最值，说明同学们的基本功还是非常扎实。
学生：对于[a1+a2c=mc]，也可以对③两边直接除以[c2]，构造需要的[mc]结构。
教师：顺着学生的思路由[4c2=m2+n2-mn]两边同时除以[c2]，整理得
[n2c2-mcnc+m2c2-4=0] ⑤
下一步呢？現在比刚才更复杂了，三个未知量，如何解决呢？以前我们遇到多个变量方程时，是如何求最值的？
学生：可以设某个变量如[nc]为主元，将其他变量看出系数，构造一元二次方程，由根的存在性，运用判别式可以求最值。
解法2：把⑤看成以[nc]为变量的，[mc]为系数的一元二次方程，则由判别式有[△≥0]
即[（mc）2-4（m2c2-4）≥0]，所以[mc][≤433]
学生以为这道题就到此为止，突然有个同学提出，最开始是消元[a1]，[a2]，能否消元[m]，[n]呢？我们不妨试试。
学生：由①、②带入③消去[m]，[n]整理得：[a12c2+3a22c2=4]
教师：此题就可以转换为已知[a12c2+3a22c2=4]，求[a1c+a2c]的最大值。它属于我们平时经常遇到的给值求值类型的题目，现在又如何求最值呢？此刻下面立即沸腾起来了。
学生：可以考虑数行结合的方法。
教师：你是如何发现的呢？
学生：把[a1c]，[a2c]看成两个整体，换元，则条件表示的就是一个椭圆，求直线截距的最大值。
顺着学生的思路，大家就动起笔来，得
解法3：令[a1c=x]，[a2c=y]则此题转换为已知[x2+3y2=4]即[x24+3y24=1]求[t=x+y]的最大值。
如图，有几何意义：当直线[t=x+y]与椭圆[x24+3y24=1]相切时有
截距[t]的最大。联立[x2+3y2=4]和[t=x+y]消去[y]
得[4x2-6tx+3t2-4=0]又由[△=0]得[t=433]
教师：解法3换元之后利用了椭圆几何意义表示，再利用线性规划的思想。除了椭圆的几何意义，还有其他的换元吗，平方和的形式的换元？
经过提示后有学生提出，观察所求式子的结构特点，利用同角三角函数的平方关系进行换元，再利用正、余弦函数的有界性求最值，得以下解法。
解法4：由解法3有[x24+3y24=1]，令[a1c=2cosθ]，[a2c=][23sinθ] [θ∈（0，π2）]
则[a1c+a2c]=[2cosθ+23sinθ]=[433sin（θ+φ）][≤433]
教师：还有其他方法吗？基本不等式是求最值的有利武器，在这儿可以用吗？能否试试？
学生：它不属于[a2+b2]与[a+b]的不等关系，因为[a2]，[b2]系数要求相等。
教师：不等的有么？回忆选修4-4里面的几个不等式？ 学生：柯西不等式
解法4：
因为[a12c2+3a22c2=4]
所以由柯西不等式有[[12+（13）2]·[（a1c）2+（3a2c）2]≥（a1c+a2c）2]
即[（a1c+a2c）2][≤（1+13）·4]即[a1c+a2c][≤433]
当且仅当[1×3a2c=13×a1c]时等号成立。
教师：回到前面[a1+a2c=mc]，还有其他解法吗，看看[mc]是否有关系，在三角形中。
学生：[mc][=2m2c=2PF1F1F2]，它表示两条边的比值，可以考虑用正弦定理。
解法5：因为[a1+a2c=mc][=2m2c=2PF1F1F2]
在[△PF1F2]中有正弦定理有[a1+a2c][=][2PF1F1F2][=2sin∠PF2F1sinπ3 =433· sin∠PF2F1 ]
所以[a1c+a2c][≤433]，当[∠PF2F1]=[π2]有最大值。
教师：解法5非常巧妙的用正弦定理将[2PF1F1F2]转换为三角形内角的三角函数求解，事半功倍，简便快捷。据题目可知，椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值与[∠PF2F1]的取值密切相关，能否推广到一般性的结论呢？
3 揭示本质，推广到一般性的结论
变式：若[∠F1PF2=π3]把[∠F1PF2=θ] （[θ∈（0，π）]），则求[1e1+1e2]的最大值？
因为[∠F1PF2=θ] （[θ∈（0，π）]），令[∠PF1F2=α]，则[∠PF1F2=π-α-θ]
又因为[α>π-θ-α]且[θ+α<π]，所以[π-θ2<α<π-θ]
（1） 若[∠F1PF2=θ]为锐角，则[π-θ>π2]，所以[cosθ2<sinα≤1]
则由解法5有[1e1+1e2]=[2PF1F1F2=2sinαsinθ][≤][433]，当[∠PF2F1]=[π2]有最大值。
（2） 若若[∠F1PF2=θ]为钝角，則[π2-θ2<α<π-θ<π2]，
所以[cosθ2<sinα<sinθ<1]
此时[1e1+1e2][=2sinαsinθ]无最值。
4 一点感悟、反思
本题巧妙地将椭圆、双曲线定定义和离心率性质等有机黏合在一起，突出了知识的综合贯通和交叉联系，充分体现了在知识网络交叉处命题的基本原则。从解答中，让我们更加深刻的领悟到“题在书外，根在书内”;“源于教材而不拘泥于教材”的高考命题的知道思想。特别是在高三的复习中，要“回归课本”，“依纲剧本”加深对数学实质的理解，落实基础知识、基本概念、基本思想方法、深化学科综合能力，重视学生数学思维能力和数学素养的培养，而不是盲目的搞“题海战术”。
作者简介：
韦保学（1984.4～），男，布依族，贵州，本科，中学二级教师，贵阳市清华中学，研究方向：课例。
高三复习课以解题教学为核心，在有限的45分钟课堂内高效的教学，课外精心选题很关键，高考试题往往是备课者青睐的对象，对同一个数学问题，教师若能引导学生从不同角度进行思考，克服就题论题，将其问题一般化。往往会使学生获得多种不同的解题思路和途径。这不仅对帮组学生训练基本技能、追求最优解法是十分必要的，而且对培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性、探究发现能力以及综合运用知识的能力都有着及其重要的作用。
本文笔者选择2014年湖北理科第9题作为典型例题，谈谈多元最值问题的解法。
题目 已知[F1，F2]是椭圆和双曲线的公共焦点，[P]是他们的一个公共点，且[∠F1PF2=π3]，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.[433] B.[233] C.3 D.2
2 解法探究
此题将椭圆和双曲线两种圆锥曲线相结合，以离心率和最值设问，常规中有创新，题目叙述简洁。
为了统一，我们先规定如图，由对称性不妨取点P在第一象限，设椭圆的长轴长为[2a1]，双曲线的实轴长为[2a2]，公共焦距为[2c]，[F1]，[F2]分别为左右焦点，[PF1=m]，[PF2=n]，
由椭圆和双曲线的定义可知[m+n=2a1m-n=2a2]推出
[m=a1+a22 ] ①
[n=a1-a22] ②
又由条件及其余弦定理有[4c2=m2+n2-mn] ③
求离心率倒数之和为[a1c+a2c]=[a1+a2c] ④
教师：如何求多元的最值呢？基本的是思路结合圆锥曲线定义及条件消元，或换元进而用函数的思想，或者利用基本不等式求最值。
学生：因为①④里面都有有[a1+a2]这个结构，联立①④消去[a1+a2]两个未知量，得到关于[m]，[n]的一个式子，减少未知量再观察。
教师：很好，这位同学观察能力很强，这样就减少了一个元，[a1+a2c=mc]但是[c]呢？③里面[c]是平方，如何用？
学生：先求[a1+a2c]的平方
顺着这一颇为自然的思路走下来，在师生的共同努力下完成了下列解法：
解法1：
[（a1+a2c）2]=[（mc）2]=[4m2m2+n2-mn]=[4nm2-nm+1]=[4nm-122+34][≤163]
所以[a1+a2c][≤433]，答案为A
教师：解法1利用换元法，把目标转换成了一个二次函数，利用配方法求最值，说明同学们的基本功还是非常扎实。
学生：对于[a1+a2c=mc]，也可以对③两边直接除以[c2]，构造需要的[mc]结构。
教师：顺着学生的思路由[4c2=m2+n2-mn]两边同时除以[c2]，整理得
[n2c2-mcnc+m2c2-4=0] ⑤
下一步呢？現在比刚才更复杂了，三个未知量，如何解决呢？以前我们遇到多个变量方程时，是如何求最值的？
学生：可以设某个变量如[nc]为主元，将其他变量看出系数，构造一元二次方程，由根的存在性，运用判别式可以求最值。
解法2：把⑤看成以[nc]为变量的，[mc]为系数的一元二次方程，则由判别式有[△≥0]
即[（mc）2-4（m2c2-4）≥0]，所以[mc][≤433]
学生以为这道题就到此为止，突然有个同学提出，最开始是消元[a1]，[a2]，能否消元[m]，[n]呢？我们不妨试试。
学生：由①、②带入③消去[m]，[n]整理得：[a12c2+3a22c2=4]
教师：此题就可以转换为已知[a12c2+3a22c2=4]，求[a1c+a2c]的最大值。它属于我们平时经常遇到的给值求值类型的题目，现在又如何求最值呢？此刻下面立即沸腾起来了。
学生：可以考虑数行结合的方法。
教师：你是如何发现的呢？
学生：把[a1c]，[a2c]看成两个整体，换元，则条件表示的就是一个椭圆，求直线截距的最大值。
顺着学生的思路，大家就动起笔来，得
解法3：令[a1c=x]，[a2c=y]则此题转换为已知[x2+3y2=4]即[x24+3y24=1]求[t=x+y]的最大值。
如图，有几何意义：当直线[t=x+y]与椭圆[x24+3y24=1]相切时有
截距[t]的最大。联立[x2+3y2=4]和[t=x+y]消去[y]
得[4x2-6tx+3t2-4=0]又由[△=0]得[t=433]
教师：解法3换元之后利用了椭圆几何意义表示，再利用线性规划的思想。除了椭圆的几何意义，还有其他的换元吗，平方和的形式的换元？
经过提示后有学生提出，观察所求式子的结构特点，利用同角三角函数的平方关系进行换元，再利用正、余弦函数的有界性求最值，得以下解法。
解法4：由解法3有[x24+3y24=1]，令[a1c=2cosθ]，[a2c=][23sinθ] [θ∈（0，π2）]
则[a1c+a2c]=[2cosθ+23sinθ]=[433sin（θ+φ）][≤433]
教师：还有其他方法吗？基本不等式是求最值的有利武器，在这儿可以用吗？能否试试？
学生：它不属于[a2+b2]与[a+b]的不等关系，因为[a2]，[b2]系数要求相等。
教师：不等的有么？回忆选修4-4里面的几个不等式？ 学生：柯西不等式
解法4：
因为[a12c2+3a22c2=4]
所以由柯西不等式有[[12+（13）2]·[（a1c）2+（3a2c）2]≥（a1c+a2c）2]
即[（a1c+a2c）2][≤（1+13）·4]即[a1c+a2c][≤433]
当且仅当[1×3a2c=13×a1c]时等号成立。
教师：回到前面[a1+a2c=mc]，还有其他解法吗，看看[mc]是否有关系，在三角形中。
学生：[mc][=2m2c=2PF1F1F2]，它表示两条边的比值，可以考虑用正弦定理。
解法5：因为[a1+a2c=mc][=2m2c=2PF1F1F2]
在[△PF1F2]中有正弦定理有[a1+a2c][=][2PF1F1F2][=2sin∠PF2F1sinπ3 =433· sin∠PF2F1 ]
所以[a1c+a2c][≤433]，当[∠PF2F1]=[π2]有最大值。
教师：解法5非常巧妙的用正弦定理将[2PF1F1F2]转换为三角形内角的三角函数求解，事半功倍，简便快捷。据题目可知，椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值与[∠PF2F1]的取值密切相关，能否推广到一般性的结论呢？
3 揭示本质，推广到一般性的结论
变式：若[∠F1PF2=π3]把[∠F1PF2=θ] （[θ∈（0，π）]），则求[1e1+1e2]的最大值？
因为[∠F1PF2=θ] （[θ∈（0，π）]），令[∠PF1F2=α]，则[∠PF1F2=π-α-θ]
又因为[α>π-θ-α]且[θ+α<π]，所以[π-θ2<α<π-θ]
（1） 若[∠F1PF2=θ]为锐角，则[π-θ>π2]，所以[cosθ2<sinα≤1]
则由解法5有[1e1+1e2]=[2PF1F1F2=2sinαsinθ][≤][433]，当[∠PF2F1]=[π2]有最大值。
（2） 若若[∠F1PF2=θ]为钝角，則[π2-θ2<α<π-θ<π2]，
所以[cosθ2<sinα<sinθ<1]
此时[1e1+1e2][=2sinαsinθ]无最值。
4 一点感悟、反思
本题巧妙地将椭圆、双曲线定定义和离心率性质等有机黏合在一起，突出了知识的综合贯通和交叉联系，充分体现了在知识网络交叉处命题的基本原则。从解答中，让我们更加深刻的领悟到“题在书外，根在书内”;“源于教材而不拘泥于教材”的高考命题的知道思想。特别是在高三的复习中，要“回归课本”，“依纲剧本”加深对数学实质的理解，落实基础知识、基本概念、基本思想方法、深化学科综合能力，重视学生数学思维能力和数学素养的培养，而不是盲目的搞“题海战术”。
作者简介：
韦保学（1984.4～），男，布依族，贵州，本科，中学二级教师，贵阳市清华中学，研究方向：课例。