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摘 要 复杂性科学要求人们以整体、系统、非线性、开放性等的思维方式打量世界。从复杂性科学视角来研究课堂教学，就会发现课堂教学具有整体涌动性、动态生成性和有序组织性等特性。基于复杂性科学视角，教师要以学生的“经验发展”作为课堂教学逻辑建构的内核，以“积极在场”作为课堂教学逻辑建构的根基，以“有序组织”作为课堂建构的标准，以“可能生成”作为数学逻辑建构的责任。
关键词 小学数学 复杂性科学 逻辑建构
小学数学教学不仅仅是教师教学思维的现实化，更是学生数学学习过程的逻辑化。运用复杂性思维，能有效助推师生数学教学思维的优化。“复杂性科学”肇始于1928年贝塔朗菲的系统论之研究。基于复杂性视角研究小学数学教学，不仅要把握数学课堂诸要素，更要把握数学课堂诸要素之间的关系，包括静态和动态的流演互育发展，要以“面向学生数学学习本身”为指导理念，以复杂性科学为方法论基础，以“逻辑考量和有序组织”为标准，以“积极在场”为先决条件，以“多边对话”为根本保障，以“动态生成性”为实践样态。
一、复杂性科学视角下教学逻辑的审视
从复杂性视角来看，数学课堂教学是师生的共同探险，是一种面向数学未知世界的探险。复杂性视角下的小学数学教学，具有整体涌动性、动态生成性、有序组织性等特质。
1.整体涌动性
复杂性科学视角下的数学教学，遵循着格式塔心理学的“完形学说”，具有“整体涌动性”的特质。所谓“整体涌动性”，是指学生的数学课堂学习不是以要素形式呈现的，而是以一种整体的姿态召唤、贴近学生。离开了整体，各个部分就无从谈起、无法理解。衡量学生在课堂上学习的效能，也不是看某一个环节，或者某一个知识点的掌握情况，而是要看课堂整体。比如教学苏教版《数学》五年级下册“简易方程”中的“行程问题”时，教师不仅仅要着眼于学生的问题解决，更要着力于引导学生深入分析。从画图到写等量关系，从设定未知数到列方程，教师要始终引导学生展开整体性思考。复杂性科学视角下的课堂教学，不仅要注重数学学习方式的整体性，更要注重数学学习内容的整体性。
2.动态生成性
复杂性科学视角下的教学观认为，课堂学习系统是动态生成的，具有非线性的特质。偶然、不确定的因素随时出现，往往需要教师重构课堂。重构课堂，要求教师的数学教学不能固守教案预设，而应当随之展开调整甚至重构。在数学教学中，教师的教学不能按部就班，而应当善于与“偶然”“无序”“生成”打交道，要善于捕捉学生数学课堂学习中的易变性、反常性、随机性，用有序的原则、规律等去驾驭无偿、无序、变易，进而在不确定性、模糊性、偶然性中去探索。比如教学苏教版《数学》五年级上册“平时四边形的面积”时，有学生通过看教科书，认为自己已经掌握了平行四边形的面积计算方法，并且提前说出了平行四边形的面积计算公式。为此，教师可以变探究“平行四边形的面积公式”为对“平行四边形的面积公式”进行验证，进而保持学生的研究热情。
3.有序组织性
从复杂性科学视角看来，课堂是一个系统，充满着有序的和无序的变化。系统的内部要素是相互转化、相互生成、相互促进的，进而实现系统内部诸要素的互动。系统本身还具有一种自我完善、自我发展、自我提升的功能，这就是系统的自组织性。在数学课堂这一系统中，教师要充分调动学生的主体性、能动性，引导学生自主学习。为此，教师可以用“大问题”来启发，用“大任务”来导引。比如苏教版《数学》五年级下册“圆的面积”这一部分内容比较杂乱、知识比较琐碎。为引导学生理解圆的圆心、直径、半径的内涵及关系，笔者设计了两个活动：“认识圆各部分的名称”和“探究圆的特征”。这样的活动，赋予学生充分自主探究的时空，促进了学生的自我生成与发展。
二、 复杂性科学视角下教学逻辑的建构
基于复杂性科学视角，教师要改变传统的教学思维逻辑，打通自身思维通道与学生思维通道的关联，按照科学的学习目标及学生认知加工顺序组织教学。
1.以“积极在场”作为教学逻辑建构的根基。
“在场性”是复杂性数学课堂教学最为基本的特征，是数学课堂教学逻辑建构的根基。在复杂性课堂上，诸多要素都是积极在场的，都应当获得在场的积极性。师生作为最为鲜活的因素更应如此。因此，在数学课堂教学中，教师要关注学生的课堂表现、样态、需要，分析学生数学在场性学习的特征、变化和生成。师生、生生之间必须展开积极的互动。作为教师，要跟进学生的数学学习，把握数学课堂中的不确定性因素。引导学生进行有效的能量交换，形成一个平衡化的课堂耗散结构。例如教学苏教版《数学》四年级上册的“平均数”，学生遇到了这样一道题：一个游泳池的平均深度是120 （ ）。在填出了单位“厘米”之后，学生突然发出了这样的声音：有没有危险啊？这是一个“另类声音”，但却与平均数的内涵意义深度关联。为此，笔者引导学生深度交流。有学生说，有危险，因为平均深度不是每一个地方的深度，有的地方可能比這个深度深一些，有的地方可能比这个深度浅一些;有学生说，游泳池不同于家乡的水塘，家乡的水塘每个地方的深浅不一，而游泳池每一个地方的深度应该是相等的，所以游泳池的平均深度120厘米应该没有危险;有学生质疑，既然游泳池每一个地方的深度都相等，那么为什么还要加上“平均”两个字呢？有学生说，游泳池有深水区和浅水区，如果平均深度是120厘米的话，浅水区是没有危险的，而深水区有一定的危险，等等。借助于课堂的“熵流”，引发了学生的积极研讨，让学生对“平均数”的认知走向了深度。
2.以“经验累积”作为教学逻辑建构的内核
“经验累积”是学生数学课堂学习的核心，不仅仅包括数学基本活动经验的累积以及还包括一般性活动经验的累积，已有知识结构、认知结构等的丰盈。在复杂性科学视角下，学生数学学习活动过程不仅要以学科知识逻辑为根基，更要以学生的具体学情为根基，依此对相关的教学预设进行调整、纠偏，使之更好地适应学生的学习。以苏教版《数学》五年级上册“三角形的面积”教学为例，教材安排的是“倍拼法”引导学生认知。但学生对“倍拼法”比较陌生，而对“剪拼法”比较熟悉，因为学生在学习“平行四边形的面积”时，运用的就是“剪拼法”。基于此，笔者调整教学设计思路，从学生已有知识经验出发，让学生自主探究。笔者给学生提供结构性的素材，包括直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。对锐角三角形和钝角三角形，很多学生都运用剪拼法进行探究。但对于直角三角形，由于学生有拼搭三角板的经验，因而用倍拼法将两个完全相同的直角三角形拼成了长方形。受此启发，有学生将两个完全相同的锐角三角形和钝角三角形拼成了平行四边形。由此，学生在其经验的土壤上自然生长出“倍拼法”。这种从学生已有知识经验出发，通过学生自主的数学学习，帮助学生累积数学基本活动经验。 3.以“有序组织”作为教学逻辑建构的标准
在数学课堂教学中，教师要不断反观自身，与其自身实践进行积极对话。教师要做一个反思性的实践者，重建自身的教学实践。作为教师，要精心组织教学活动内容、活动序列，并在教学目标统摄下处理好课堂教学层次，要整合数学学科逻辑与学生的心理发展逻辑，消除两者的歧义和落差，着眼于教学内容的认知化。复杂性科学视角下的数学课堂教学，应当将“有序组织”作为教学逻辑建构的标准。比如教学苏教版《数学》四年级下册“相遇问题”时，教师会让学生在课堂上表演相遇的场景，并且根据题意画出相关的线段图。然而，学生在题意出现变化时，仍然无法解决问题。究其根本，是因为学生没有把握相遇问题的诸多复杂情况。笔者在教学中，创设了复杂性问题情境，引导学生有序分析情境。比如动态展现甲乙双方从“相离”到“相遇”再到“相离”的过程。在此基础上，和学生一起研讨“相向而行”“相背而行”等问题。不仅如此，笔者在教学中还借助多媒体设备，展示了“一方先出发而后另一方出发”“一方中途休息另一方继续行驶”等相关的内容。通过有序组织，让学生对相遇问题形成整体性的认知。教学中，教师要引导学生系统思考、整体谋划，让学生的数学课堂学习成为一个开放性、动态性的平衡系统，成为提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养的高能场域。
4.以“可能生成”作为教学逻辑建构的旨归
复杂性科学认为，课堂是一个动态、开放、生成的空间。基于复杂性科学视角，教师要以“可能生成”作为教学逻辑建构的旨归。这样的结构有助于发散学生的数学思维，让学生的课堂学习更加精彩。
复杂性科学认为，在系统中整体大于各部分之和。在小学数学教学中，学生的探究方式不应是单一的，而应是多向的，学生的数学学习方法是一个个板块的集结。比如“圆的面积”这一部分内容，教材中是将圆转化成长方形。很多教师照本宣科，引导学生将圆转化成长方形。学生的思路被禁锢在预设的、特定的转化思路之中。而笔者在教学中，沒有对学生的探究规划具体路线，只是为学生提供一个方向，比如可以将圆转化成已学图形的面积。如此，学生就可以调动自我的探究潜质，展开多向性的探究。比如有学生将圆转化成三角形，根据三角形的面积公式推导出圆的面积公式;有学生将圆转化成梯形，根据梯形的面积公式推导出圆的面积公式，等等。在多向推导的基础上，学生彼此之间展开交流，进而认识到将圆转化成其他图形的一致性，即“化曲为直”，都是应用了转化的思想方法，即“将未知转化成已知”“将陌生转化成熟悉”“将复杂转化成简单”，等等。在数学课堂上，教师要秉持复杂性思维，只有这样，才能捕捉到学生数学学习场域中有意义、有价值的课程资源，才能开辟更多的数学学习的可能性空间。
参考文献
[1] 哈蒂.可见的学习：对800多项关于学业成就的元分析的综合报告[M].彭正梅，邓莉，高原，等，译.北京：教育科学出版社，2015：34.
[2] 王东敏.“自组织课堂”的探索与实践[J].江苏教育，2011（10）：8.
[3] 莫兰.复杂性思想导论[M].陈一壮，译.上海：华东师范大学出版社，2008：88.
[4] 盛小青.数学新定义问题的类型及教学实施[J].教学与管理，2021（04）：61-63.
[5] 崔志钰，陈鹏，崔景贵.积极课堂讨论的概念、问题与策略透析[J].教学与管理，2021（07）：4-7.
[责任编辑：陈国庆]
关键词 小学数学 复杂性科学 逻辑建构
小学数学教学不仅仅是教师教学思维的现实化，更是学生数学学习过程的逻辑化。运用复杂性思维，能有效助推师生数学教学思维的优化。“复杂性科学”肇始于1928年贝塔朗菲的系统论之研究。基于复杂性视角研究小学数学教学，不仅要把握数学课堂诸要素，更要把握数学课堂诸要素之间的关系，包括静态和动态的流演互育发展，要以“面向学生数学学习本身”为指导理念，以复杂性科学为方法论基础，以“逻辑考量和有序组织”为标准，以“积极在场”为先决条件，以“多边对话”为根本保障，以“动态生成性”为实践样态。
一、复杂性科学视角下教学逻辑的审视
从复杂性视角来看，数学课堂教学是师生的共同探险，是一种面向数学未知世界的探险。复杂性视角下的小学数学教学，具有整体涌动性、动态生成性、有序组织性等特质。
1.整体涌动性
复杂性科学视角下的数学教学，遵循着格式塔心理学的“完形学说”，具有“整体涌动性”的特质。所谓“整体涌动性”，是指学生的数学课堂学习不是以要素形式呈现的，而是以一种整体的姿态召唤、贴近学生。离开了整体，各个部分就无从谈起、无法理解。衡量学生在课堂上学习的效能，也不是看某一个环节，或者某一个知识点的掌握情况，而是要看课堂整体。比如教学苏教版《数学》五年级下册“简易方程”中的“行程问题”时，教师不仅仅要着眼于学生的问题解决，更要着力于引导学生深入分析。从画图到写等量关系，从设定未知数到列方程，教师要始终引导学生展开整体性思考。复杂性科学视角下的课堂教学，不仅要注重数学学习方式的整体性，更要注重数学学习内容的整体性。
2.动态生成性
复杂性科学视角下的教学观认为，课堂学习系统是动态生成的，具有非线性的特质。偶然、不确定的因素随时出现，往往需要教师重构课堂。重构课堂，要求教师的数学教学不能固守教案预设，而应当随之展开调整甚至重构。在数学教学中，教师的教学不能按部就班，而应当善于与“偶然”“无序”“生成”打交道，要善于捕捉学生数学课堂学习中的易变性、反常性、随机性，用有序的原则、规律等去驾驭无偿、无序、变易，进而在不确定性、模糊性、偶然性中去探索。比如教学苏教版《数学》五年级上册“平时四边形的面积”时，有学生通过看教科书，认为自己已经掌握了平行四边形的面积计算方法，并且提前说出了平行四边形的面积计算公式。为此，教师可以变探究“平行四边形的面积公式”为对“平行四边形的面积公式”进行验证，进而保持学生的研究热情。
3.有序组织性
从复杂性科学视角看来，课堂是一个系统，充满着有序的和无序的变化。系统的内部要素是相互转化、相互生成、相互促进的，进而实现系统内部诸要素的互动。系统本身还具有一种自我完善、自我发展、自我提升的功能，这就是系统的自组织性。在数学课堂这一系统中，教师要充分调动学生的主体性、能动性，引导学生自主学习。为此，教师可以用“大问题”来启发，用“大任务”来导引。比如苏教版《数学》五年级下册“圆的面积”这一部分内容比较杂乱、知识比较琐碎。为引导学生理解圆的圆心、直径、半径的内涵及关系，笔者设计了两个活动：“认识圆各部分的名称”和“探究圆的特征”。这样的活动，赋予学生充分自主探究的时空，促进了学生的自我生成与发展。
二、 复杂性科学视角下教学逻辑的建构
基于复杂性科学视角，教师要改变传统的教学思维逻辑，打通自身思维通道与学生思维通道的关联，按照科学的学习目标及学生认知加工顺序组织教学。
1.以“积极在场”作为教学逻辑建构的根基。
“在场性”是复杂性数学课堂教学最为基本的特征，是数学课堂教学逻辑建构的根基。在复杂性课堂上，诸多要素都是积极在场的，都应当获得在场的积极性。师生作为最为鲜活的因素更应如此。因此，在数学课堂教学中，教师要关注学生的课堂表现、样态、需要，分析学生数学在场性学习的特征、变化和生成。师生、生生之间必须展开积极的互动。作为教师，要跟进学生的数学学习，把握数学课堂中的不确定性因素。引导学生进行有效的能量交换，形成一个平衡化的课堂耗散结构。例如教学苏教版《数学》四年级上册的“平均数”，学生遇到了这样一道题：一个游泳池的平均深度是120 （ ）。在填出了单位“厘米”之后，学生突然发出了这样的声音：有没有危险啊？这是一个“另类声音”，但却与平均数的内涵意义深度关联。为此，笔者引导学生深度交流。有学生说，有危险，因为平均深度不是每一个地方的深度，有的地方可能比這个深度深一些，有的地方可能比这个深度浅一些;有学生说，游泳池不同于家乡的水塘，家乡的水塘每个地方的深浅不一，而游泳池每一个地方的深度应该是相等的，所以游泳池的平均深度120厘米应该没有危险;有学生质疑，既然游泳池每一个地方的深度都相等，那么为什么还要加上“平均”两个字呢？有学生说，游泳池有深水区和浅水区，如果平均深度是120厘米的话，浅水区是没有危险的，而深水区有一定的危险，等等。借助于课堂的“熵流”，引发了学生的积极研讨，让学生对“平均数”的认知走向了深度。
2.以“经验累积”作为教学逻辑建构的内核
“经验累积”是学生数学课堂学习的核心，不仅仅包括数学基本活动经验的累积以及还包括一般性活动经验的累积，已有知识结构、认知结构等的丰盈。在复杂性科学视角下，学生数学学习活动过程不仅要以学科知识逻辑为根基，更要以学生的具体学情为根基，依此对相关的教学预设进行调整、纠偏，使之更好地适应学生的学习。以苏教版《数学》五年级上册“三角形的面积”教学为例，教材安排的是“倍拼法”引导学生认知。但学生对“倍拼法”比较陌生，而对“剪拼法”比较熟悉，因为学生在学习“平行四边形的面积”时，运用的就是“剪拼法”。基于此，笔者调整教学设计思路，从学生已有知识经验出发，让学生自主探究。笔者给学生提供结构性的素材，包括直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。对锐角三角形和钝角三角形，很多学生都运用剪拼法进行探究。但对于直角三角形，由于学生有拼搭三角板的经验，因而用倍拼法将两个完全相同的直角三角形拼成了长方形。受此启发，有学生将两个完全相同的锐角三角形和钝角三角形拼成了平行四边形。由此，学生在其经验的土壤上自然生长出“倍拼法”。这种从学生已有知识经验出发，通过学生自主的数学学习，帮助学生累积数学基本活动经验。 3.以“有序组织”作为教学逻辑建构的标准
在数学课堂教学中，教师要不断反观自身，与其自身实践进行积极对话。教师要做一个反思性的实践者，重建自身的教学实践。作为教师，要精心组织教学活动内容、活动序列，并在教学目标统摄下处理好课堂教学层次，要整合数学学科逻辑与学生的心理发展逻辑，消除两者的歧义和落差，着眼于教学内容的认知化。复杂性科学视角下的数学课堂教学，应当将“有序组织”作为教学逻辑建构的标准。比如教学苏教版《数学》四年级下册“相遇问题”时，教师会让学生在课堂上表演相遇的场景，并且根据题意画出相关的线段图。然而，学生在题意出现变化时，仍然无法解决问题。究其根本，是因为学生没有把握相遇问题的诸多复杂情况。笔者在教学中，创设了复杂性问题情境，引导学生有序分析情境。比如动态展现甲乙双方从“相离”到“相遇”再到“相离”的过程。在此基础上，和学生一起研讨“相向而行”“相背而行”等问题。不仅如此，笔者在教学中还借助多媒体设备，展示了“一方先出发而后另一方出发”“一方中途休息另一方继续行驶”等相关的内容。通过有序组织，让学生对相遇问题形成整体性的认知。教学中，教师要引导学生系统思考、整体谋划，让学生的数学课堂学习成为一个开放性、动态性的平衡系统，成为提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养的高能场域。
4.以“可能生成”作为教学逻辑建构的旨归
复杂性科学认为，课堂是一个动态、开放、生成的空间。基于复杂性科学视角，教师要以“可能生成”作为教学逻辑建构的旨归。这样的结构有助于发散学生的数学思维，让学生的课堂学习更加精彩。
复杂性科学认为，在系统中整体大于各部分之和。在小学数学教学中，学生的探究方式不应是单一的，而应是多向的，学生的数学学习方法是一个个板块的集结。比如“圆的面积”这一部分内容，教材中是将圆转化成长方形。很多教师照本宣科，引导学生将圆转化成长方形。学生的思路被禁锢在预设的、特定的转化思路之中。而笔者在教学中，沒有对学生的探究规划具体路线，只是为学生提供一个方向，比如可以将圆转化成已学图形的面积。如此，学生就可以调动自我的探究潜质，展开多向性的探究。比如有学生将圆转化成三角形，根据三角形的面积公式推导出圆的面积公式;有学生将圆转化成梯形，根据梯形的面积公式推导出圆的面积公式，等等。在多向推导的基础上，学生彼此之间展开交流，进而认识到将圆转化成其他图形的一致性，即“化曲为直”，都是应用了转化的思想方法，即“将未知转化成已知”“将陌生转化成熟悉”“将复杂转化成简单”，等等。在数学课堂上，教师要秉持复杂性思维，只有这样，才能捕捉到学生数学学习场域中有意义、有价值的课程资源，才能开辟更多的数学学习的可能性空间。
参考文献
[1] 哈蒂.可见的学习：对800多项关于学业成就的元分析的综合报告[M].彭正梅，邓莉，高原，等，译.北京：教育科学出版社，2015：34.
[2] 王东敏.“自组织课堂”的探索与实践[J].江苏教育，2011（10）：8.
[3] 莫兰.复杂性思想导论[M].陈一壮，译.上海：华东师范大学出版社，2008：88.
[4] 盛小青.数学新定义问题的类型及教学实施[J].教学与管理，2021（04）：61-63.
[5] 崔志钰，陈鹏，崔景贵.积极课堂讨论的概念、问题与策略透析[J].教学与管理，2021（07）：4-7.
[责任编辑：陈国庆]