【摘要】Riordan矩阵在证明和寻找组合恒等式方面的一个新的应用.推广了∑∞k=0n
　　kr（p qk）n-k（r-qk）k-1=（r p）n，并借助Riordan阵导出著名的Gould恒等式：∑nk=srr-qkr-qk
　　kp qk
　　n-k=p r
　　n，并且推广了此方法，从而得到两个定理，并能够从另一个角度推出很多熟悉的组合恒等式如∑nk=0nn-kn-k
　　kn k
　　n-k=2n
　　n 等.
　　【关键词】Riordan阵;组合恒等式;应用
　　定理1 设D=（d（t），h（t））是一个Riordan矩阵，f（t）=ψ{fn}，若
　　f^（h）（t）=[f（t）t=yh-1（t）]=ψ{f^n}，则∑∞k=0dn，kf^k=[tn]d（t）f（t）.
　　（1）
　　本节内容是在文献研究定理1的应用得出一些组合恒等式.
　　定理2 设D=（ept，eqt）是一个Riordan矩阵，f（t）=erlt，其中p，q，r，l∈R，则∑∞k=0dn，kf^k=∑∞k=0（p qk）n-k（n-k）！rl（rl-qk）k-1k！=（p rl）n！，证明略.
　　即∑∞k=0n
　　krl（p qk）n-k（rl-qk）k-1=（rl p）n.
　　（2）
　　若令l=1则得（2）中的恒等式∑∞k=0n
　　kr（p qk）n-k（r-qk）k-1=（r p）n.
　　（3）
　　当l=3，r=3a，p=b n，q=-1时得Abel恒等式
　　∑∞k=0n
　　ka（a k）k-1（b n-k）n-k=（a b n）n
　　（4）
　　当l=3，r=3a，p=b，q=0时得二项式定理∑∞k=0n
　　kakbn-k=（a b）n.
　　（5）
　　定理3 设D=（ept，eqt）是一个Riordan矩阵，f（t）=tmerlt，其中p，q，r，l，m∈R则∑∞k=mdn，kf^k=（p rl）n-m（n-m）！.证明略.
　　故由定理1知：
　　∑∞k=mdn，kf^k=∑∞k=m（p qk）n-k（n-k）！rl-qmrl-qk（rl-qk）k-m（k-m）！.
　　当m=0得公式（2）当m=1，r=0，p=n 1，q=-1，l∈R时，有
　　∑∞k=1n-1
　　n-kkk-2（n-k 1）n-k=（n 1）n-1.
　　（6）
　　又∵n-1
　　n-k=knn
　　k带入（6）得∑∞k=1n
　　kkk-1（n-k 1）n-k=n（n 1）n-1.
　　（7）
　　定理4 设D=（（1 αt）p，（1 αt）q）是一个Riordan矩阵，f（t）=（1 αt）r，其中p，q，r∈R，则∑∞k=0dn，kf^k=rr-qk∑∞k=0p qk
　　n-kr-qk
　　k=p r
　　n，证明略.
　　其中rr-qk∑∞k=0p qk
　　n-kr-qk
　　k=p r
　　n 即为Gould恒等式
　　定理5 设D=（（1 αt）p，（1 βt）q）是一个Riordan矩阵，f（t）=（1 αt）r，其中p，q，r∈R，则
　　∑∞k=0dn，kf^k=rk∑∞k=0∑k-1l=0∑n-kt=0q-k
　　n-k-tp
　　tr-1
　　k-1-l-qk
　　lβl
　　=p r
　　nαl.
　　证明略.特别地当α=β 时即得定理4.
　　定理6 设D=（（1 αt）p，（1 βt）q）是一个Riordan矩阵，f（t）=（1 βt）s（1 αt）r其中p，q，r，s∈R，则
　　∑∞k=0dn，kf^k=rk∑∞k=0∑k-1l=0∑n-kt=0q-k
　　n-k-tp
　　tr-1
　　k-1-l
　　-qk
　　lβl=p r
　　nαl，证明略.