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对许多几何问题，需要用推理的方法来解决。这里以四边形问题为例具体分析。
例1.我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
【评析】本题是一道先定义，后猜想探索的题目，是近年来中考命题的热点问题，是新课改形势下的优秀压轴题。第1小题比较容易；第2小题中要求学生先猜想可能的结论，再进行证明，的确有较高的能力要求，而在探索结论前要自己先画几个草图，做到心中有数再努力求证。我们可以利用转化思想，构造平行四边形，将几条线段放到一个三角形中研究。
解： （1）正方形、矩形、等腰梯形等等（答案不唯一）。
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。
已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，且∠AOD=60°。
求证：BC+AD≥AC
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC，连接CE、BE，故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形，所以△BDE是等边三角形，CE=AD所以DE=BE=AC
（1）当BC与CE不在同一直线上时（如图1），在△BCE中，有BC+CE>BE.所以BC+AD>AC.
（2）当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC+CE=BE因此BC+AD=AC
综合（1）、（2）得 BC+AD≥AC
即等对角线四边形中两条对角线所夹60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
例2.如图3，四边形ABEF和四边形FECD都是边长为8的正方形，M为BE上一点，AM⊥MN，BM=3。求MN的长。
【评析】不难看出本题融合了三角形和四边形的不少知识，要求MN的长，我们很自然的想到过N作EC的垂线段，易证△ABM∽△MPN，再利用相似三角形的性质求解.
解法一：（图3）过N作NP⊥EC，垂足为P，设EP=x，易证△ABM∽△MPN，所以■=■，即■=■，解得 x=4，从而MP=AB=4，所以MN=AM=5。
由解法一可知，AM=MN，这并非巧合，事实上无论M点在直线BE上的什么位置，只要AM⊥MN，则AM=MN. 这样问题就转化为如何证明AM=MN。从而就有如下的解法二、解法三，甚至还有更多的解法，请读者自行探索。
解法二：（图4）在BA上取一点P，使BP=BM，证明△APM≌△MEN，得MN=AM。
解法三：（图5）连接AM、AE，已知AMN=90°，要证AM=MN，只要证△AMN是等腰直角三角形，即∠MAN=45°或∠ANM=45°，易知∠AEN=90°、∠AMN=90°，从而得到A、M、E、N在以AN为直径的圆周上，所以∠ANM=∠AEM=45°，从而MN=AM得证。
例3. （十八届江苏省初中数学竞赛）如图6，四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=CD=AD。求∠A与∠B的度数。
【评析】依照题目所给图形，难以求出这两个角的度数，必须借助辅助线来解决。所以我们抓住题目所给边的关系和特殊的角度，将其补形，惊现庐山真面目，使问题迎刃而解.
解：以BC和CD为边将其补成正方形PBCD，并连结PA，
∵∠ADC=150°，∴∠ADP=60°，又∵AD=DC=PD，∴△PAD是等边三角形，∴∠APB=∠BPD+∠APD=150°，又∵PA=PB，∴∠PBA=∠PAB=15°，从而可得∠A=45°，∠B=75°。
例4.如图7，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K为AB上一点，N为BC上一点，若△BKN的周长等于AB的2倍，求∠KDN的度数。
【评析】将一个平面图形绕某点旋转一定的角度得到另一个图形，这就是旋转变换，在旋转变换下，旋转前后的图形全等.我们用这一特点解决此题。
解：显然，∠ADC=45°，AD=AC，将△ADK绕点D顺时针旋转45°至△CDK′（K′在BC的延长线上），则 NK+BK+BN=2AB=AB+BC=AK+BK+BN+NC=NK+BK′+BN，即NK=NK′，进一步可得△DKN≌△DK′N， 故∠KDN=∠K′DN=■×45°=22.5°。
例1.我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
【评析】本题是一道先定义，后猜想探索的题目，是近年来中考命题的热点问题，是新课改形势下的优秀压轴题。第1小题比较容易；第2小题中要求学生先猜想可能的结论，再进行证明，的确有较高的能力要求，而在探索结论前要自己先画几个草图，做到心中有数再努力求证。我们可以利用转化思想，构造平行四边形，将几条线段放到一个三角形中研究。
解： （1）正方形、矩形、等腰梯形等等（答案不唯一）。
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。
已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，且∠AOD=60°。
求证：BC+AD≥AC
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC，连接CE、BE，故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形，所以△BDE是等边三角形，CE=AD所以DE=BE=AC
（1）当BC与CE不在同一直线上时（如图1），在△BCE中，有BC+CE>BE.所以BC+AD>AC.
（2）当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC+CE=BE因此BC+AD=AC
综合（1）、（2）得 BC+AD≥AC
即等对角线四边形中两条对角线所夹60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
例2.如图3，四边形ABEF和四边形FECD都是边长为8的正方形，M为BE上一点，AM⊥MN，BM=3。求MN的长。
【评析】不难看出本题融合了三角形和四边形的不少知识，要求MN的长，我们很自然的想到过N作EC的垂线段，易证△ABM∽△MPN，再利用相似三角形的性质求解.
解法一：（图3）过N作NP⊥EC，垂足为P，设EP=x，易证△ABM∽△MPN，所以■=■，即■=■，解得 x=4，从而MP=AB=4，所以MN=AM=5。
由解法一可知，AM=MN，这并非巧合，事实上无论M点在直线BE上的什么位置，只要AM⊥MN，则AM=MN. 这样问题就转化为如何证明AM=MN。从而就有如下的解法二、解法三，甚至还有更多的解法，请读者自行探索。
解法二：（图4）在BA上取一点P，使BP=BM，证明△APM≌△MEN，得MN=AM。
解法三：（图5）连接AM、AE，已知AMN=90°，要证AM=MN，只要证△AMN是等腰直角三角形，即∠MAN=45°或∠ANM=45°，易知∠AEN=90°、∠AMN=90°，从而得到A、M、E、N在以AN为直径的圆周上，所以∠ANM=∠AEM=45°，从而MN=AM得证。
例3. （十八届江苏省初中数学竞赛）如图6，四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=CD=AD。求∠A与∠B的度数。
【评析】依照题目所给图形，难以求出这两个角的度数，必须借助辅助线来解决。所以我们抓住题目所给边的关系和特殊的角度，将其补形，惊现庐山真面目，使问题迎刃而解.
解：以BC和CD为边将其补成正方形PBCD，并连结PA，
∵∠ADC=150°，∴∠ADP=60°，又∵AD=DC=PD，∴△PAD是等边三角形，∴∠APB=∠BPD+∠APD=150°，又∵PA=PB，∴∠PBA=∠PAB=15°，从而可得∠A=45°，∠B=75°。
例4.如图7，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K为AB上一点，N为BC上一点，若△BKN的周长等于AB的2倍，求∠KDN的度数。
【评析】将一个平面图形绕某点旋转一定的角度得到另一个图形，这就是旋转变换，在旋转变换下，旋转前后的图形全等.我们用这一特点解决此题。
解：显然，∠ADC=45°，AD=AC，将△ADK绕点D顺时针旋转45°至△CDK′（K′在BC的延长线上），则 NK+BK+BN=2AB=AB+BC=AK+BK+BN+NC=NK+BK′+BN，即NK=NK′，进一步可得△DKN≌△DK′N， 故∠KDN=∠K′DN=■×45°=22.5°。