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【摘 要】数列的通项公式是高考的重点和难点，考查的形式更是变化多端。而构造和转化又是非常重要的数学思想方法，它可以帮助我们把不熟悉的问题转变为我们已经掌握的问题，对于开阔学生视野，提高分析问题和解决问题的能力有着重要意义。
【关键词】构造 数列 通项公式
数列在高考题中既是重点又是难点，高考中表现为一道选择题或填空题和一道解答题。数列又会和函数、不等式、向量等知识结合起来考查，要求综合分析的能力较强。特别是求一般数列的通项公式这类问题题型变化多，解法也有多种，下面仅举几个由一般数列构造特殊的等差数列或等比数列来求通项的例子，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、形如ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ的形式
对于这种类型的题目，我们通常在关系式的两边同时加上同一个常数来构造一个新的等比数列，通过等比数列的通项公式求新数列的通项，进而求出原数列的通项公式。
例１．已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋１，求ａｎ。
解：由题意ａｎ＋１＋１＝２（ａｎ＋１），故｛ａｎ＋１｝是以２为首项，２为公比的等比数列。
∴ａｎ＋１＝２ｎ 即ａｎ＝２ｎ－１。
二、形如ａｎ＋１＝的形式
对于这种类型的题目，我们通过等式的两边同时取倒数，直接构造一个等差数列或是变成第一种类型再去构造一次，从而求出原数列的通项公式。
例２．知数列｛ａｎ｝中ａ１＝１，ａｎ＋１＝，求ａｎ。
由题意＝＝＋
所以＋＝２（＋）
所以｛＋｝是以为首项，２为公比的等比数列
所以＋＝×２ｎ－１
所以ａｎ＝
三、形如ａｎ＋２＝ｐａｎ＋１＋ｑａｎ的形式
对于这种类型的题目，我们通过去找前后两项和中间项的联系，构造一个等比数列，先求出这个等比数列的通项公式，再根据迭加法求出原数列的通项公式。
例３．已知数列｛ａｎ｝中ａ１＝１，ａ２＝２，ａｎ＋２＝ａｎ＋１＋ａｎ求ａｎ。
解：由题意ａｎ＋２－ａｎ＋１＝－（ａｎ＋１－ａｎ），所以｛ａｎ＋１－ａｎ｝是首项为１，公比为－的等比数列。所以有ａｎ＋１－ａｎ＝（－）ｎ－１即ａ２－ａ１＝（－）０ ，ａ３－ａ２＝（－）１，ａ４－ａ３＝（－）２ ａｎ－ａｎ－１＝（－）ｎ－２ 各式相加得ａｎ＝１＋［１－（－）ｎ－１］
四、形如ｓｎ＝Ａａｎ＋Ｂ的形式
对于这种类型的题目，我们通过数列前ｎ项和的概念，把前ｎ项和去掉，找出数列的递推关系式，从而又转变成了第一种类型的题目，通过构造等比数列求出原数列的通项公式。
例４．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为ｓｎ，且ｓｎ＝２ａｎ＋ｎ，求ａｎ
解：由ｓｎ＝２ａｎ＋ｎ和ｓｎ－１＝２ａｎ－１＋ｎ－１相减得ａｎ＝２ａｎ－１－１，则ａｎ－１＝２（ａｎ－１－１），所以｛ａｎ－１｝是以－１为首项，以２为公比的等比数列，由此得ａｎ－１＝－１×２ｎ－１，即ａｎ＝１－２ｎ－１。
五、形如ａｎ＋１＝ａｎＡ的形式
对于这种类型的题目，我们可以对等式的两边同时取对数，根据对数的运算性质，把右边的次数转化为前边的系数，从而构造出等比数列，求出数列的通项公式。
例５．ａ１＝１０，ａｎ＋１＝ａｎ３，求ａｎ。
解：由题意ｌｇａｎ＋１＝ｌｇａｎ３＝３ｌｇａｎ所以｛ｌｇａｎ｝是以１为首项，３为公比的等比数列。
所以ｌｇａｎ＝３ｎ－１即ａｎ＝１０３ｎ－１。
解决高考题中数列的解答题，关键在于求出数列的通项公式，上面介绍的构造和转化的方法能把这些问题简单化，把非等差等比的数列转化为等差或等比数列，从而求出数列的通项公式。在学习过程中，既要掌握这几种构造的方法，更要认真体会它所蕴涵的数学思想和数学方法，这样才能举一反三，触类旁通，有助于培养学生思维的广阔性和灵活性，对于学生全面地分析问题，多角度地研究问题有很大帮助。
（河北大城县第一中学；０６５９００）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】构造 数列 通项公式
数列在高考题中既是重点又是难点，高考中表现为一道选择题或填空题和一道解答题。数列又会和函数、不等式、向量等知识结合起来考查，要求综合分析的能力较强。特别是求一般数列的通项公式这类问题题型变化多，解法也有多种，下面仅举几个由一般数列构造特殊的等差数列或等比数列来求通项的例子，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、形如ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ的形式
对于这种类型的题目，我们通常在关系式的两边同时加上同一个常数来构造一个新的等比数列，通过等比数列的通项公式求新数列的通项，进而求出原数列的通项公式。
例１．已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋１，求ａｎ。
解：由题意ａｎ＋１＋１＝２（ａｎ＋１），故｛ａｎ＋１｝是以２为首项，２为公比的等比数列。
∴ａｎ＋１＝２ｎ 即ａｎ＝２ｎ－１。
二、形如ａｎ＋１＝的形式
对于这种类型的题目，我们通过等式的两边同时取倒数，直接构造一个等差数列或是变成第一种类型再去构造一次，从而求出原数列的通项公式。
例２．知数列｛ａｎ｝中ａ１＝１，ａｎ＋１＝，求ａｎ。
由题意＝＝＋
所以＋＝２（＋）
所以｛＋｝是以为首项，２为公比的等比数列
所以＋＝×２ｎ－１
所以ａｎ＝
三、形如ａｎ＋２＝ｐａｎ＋１＋ｑａｎ的形式
对于这种类型的题目，我们通过去找前后两项和中间项的联系，构造一个等比数列，先求出这个等比数列的通项公式，再根据迭加法求出原数列的通项公式。
例３．已知数列｛ａｎ｝中ａ１＝１，ａ２＝２，ａｎ＋２＝ａｎ＋１＋ａｎ求ａｎ。
解：由题意ａｎ＋２－ａｎ＋１＝－（ａｎ＋１－ａｎ），所以｛ａｎ＋１－ａｎ｝是首项为１，公比为－的等比数列。所以有ａｎ＋１－ａｎ＝（－）ｎ－１即ａ２－ａ１＝（－）０ ，ａ３－ａ２＝（－）１，ａ４－ａ３＝（－）２ ａｎ－ａｎ－１＝（－）ｎ－２ 各式相加得ａｎ＝１＋［１－（－）ｎ－１］
四、形如ｓｎ＝Ａａｎ＋Ｂ的形式
对于这种类型的题目，我们通过数列前ｎ项和的概念，把前ｎ项和去掉，找出数列的递推关系式，从而又转变成了第一种类型的题目，通过构造等比数列求出原数列的通项公式。
例４．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为ｓｎ，且ｓｎ＝２ａｎ＋ｎ，求ａｎ
解：由ｓｎ＝２ａｎ＋ｎ和ｓｎ－１＝２ａｎ－１＋ｎ－１相减得ａｎ＝２ａｎ－１－１，则ａｎ－１＝２（ａｎ－１－１），所以｛ａｎ－１｝是以－１为首项，以２为公比的等比数列，由此得ａｎ－１＝－１×２ｎ－１，即ａｎ＝１－２ｎ－１。
五、形如ａｎ＋１＝ａｎＡ的形式
对于这种类型的题目，我们可以对等式的两边同时取对数，根据对数的运算性质，把右边的次数转化为前边的系数，从而构造出等比数列，求出数列的通项公式。
例５．ａ１＝１０，ａｎ＋１＝ａｎ３，求ａｎ。
解：由题意ｌｇａｎ＋１＝ｌｇａｎ３＝３ｌｇａｎ所以｛ｌｇａｎ｝是以１为首项，３为公比的等比数列。
所以ｌｇａｎ＝３ｎ－１即ａｎ＝１０３ｎ－１。
解决高考题中数列的解答题，关键在于求出数列的通项公式，上面介绍的构造和转化的方法能把这些问题简单化，把非等差等比的数列转化为等差或等比数列，从而求出数列的通项公式。在学习过程中，既要掌握这几种构造的方法，更要认真体会它所蕴涵的数学思想和数学方法，这样才能举一反三，触类旁通，有助于培养学生思维的广阔性和灵活性，对于学生全面地分析问题，多角度地研究问题有很大帮助。
（河北大城县第一中学；０６５９００）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文