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【摘要】根据高层建筑火灾蔓延及救火过程的非线性的特点，建立了火势随时间变化的非线性模型．进而确立高层建筑救火总费用的目标函数，建立一个高层建筑救火的非线性数学模型．然后，运用微积分和数值计算的有关知识对数学模型进行分析与求解，从而得到高层建筑救火的最低费用和需要投入消防员的人数．
【关键词】高层建筑；火灾；非线性模型
近年来，城市建筑越来越高，高层建筑火灾的危害越来越大．高层建筑救火已成为一个社会性的难题，笔者运用数学方法对其进行研究，可提高火灾救援的工作效率，从而缓解目前消防部队普遍存在的经费不足与火灾救援任务日渐繁重的矛盾．
1.问题的分析
一旦发现高层建筑失火后，应派多少消防员前去救火？派的消防员越多，烧毁建筑物的损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑建筑物损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出消防队员的数目．
损失费通常正比于建筑物烧毁的体积，而烧毁体积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数目，消防队员越多灭火越快．救援费除了与消防队员人数有关外，也与灭火时间长短有关．记失火的时刻为t=0，开始救火的时刻为t=t1，灭火的时刻为t=t2．设时刻t时建筑物的烧毁体积为V(t)，则造成损失的建筑物烧毁体积为v(t2)．
dVdt是单位时间烧毁的体积，表示火势蔓延的程度．在消防队员到达之前，即0≤t≤t1，火势越来越大，即dVdt随着t的增加而增加；开始救火后，即t1≤t≤t2，如果消防队员救火能力足夠强，火势会越来越小，即dVdt应减少，并且当t=t2时，dVdt=0．
救援可以分为两部分：一部分是灭火器材的消耗与消防队员的薪金等，与消防队员人数及灭火所用的时间均有关；另一部分是运送消防队员和灭火器材等一次性支出，只与消防队员人数有关．
2.模型的建立
需要对烧毁建筑物的损失费、救援费及火势蔓延程度dVdt的形式作出假设．
(1)损失费与建筑物烧毁体积V(t2)成正比，比例系数为c1，c1即烧毁单位体积的损失费．
(2)火灾以失火点为中心，按照近似半椭球体积不断蔓延（见下图）.
图1烧毁体积V(t)
假设火灾按轴a、轴b的蔓延都是匀速的，称之为线速度，竖向蔓延的线速度是β，横向蔓延的线速度是γ，且向上蔓延更快，即β>γ．
从失火到开始救火这段时间（0≤t≤t1）内，火灾自由蔓延，烧毁体积V随时间变化:
V(t)=23πa2b=23π(γt)2βt=23πγ2βt3．
烧毁体积随时间的变化率称为火势，即火灾蔓延的体积速度，记为E：E(t)=dV(t)dt=2πγ2βt2.火势变化率E′(t)=4πγ2βt，火势加速度A=E″(t)=4πγ2β.由此可见开始救火之前，火势是以一个内在恒定的加速度在蔓延.
(3）假设派出消防队员x名，每个队员灭火的平均线速度为λ．那么开始救火以后（t1≤t≤t2），火灾竖向蔓延的速度为β-λx，横向蔓延的速度为y-λx．要最终扑灭火，应有λx>β>γ．于是火势加速度变为A(t1,t2)=4π(γ-λx)2(β-λx)<0，说明火势有减弱的趋势.在区间［t1,t］上对该加速度进行两重积分，不难得到火势随时间变化函数为：
E(t)=dV(t)dt=2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+2πγ2βt21,t>t1.
所以，火势随时间变化dV(t)dt如下图所示：
图2火势dV(t)dt变化趋势
记t=t1时，dV(t)dt=c．即：
c=2πγ2βt21．（１）
当t=t2时，dV(t)dt=0．于是，2π(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)2+c=0，故：
t2-t1=c2π(γ-λx)2(λx-β).（２）
由定积分的相关知识
V（t2)=∫t102πγ2βt2dt+∫t21［2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+c］dt
=2π3γ2βt31+2π3(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)3+c(t2-t1).
将（１）式、（２）式代入上式得
V(t2)=2π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12.（３）
(4）假设每个消防队员单位时间的费用为c2，于是每个消防队员的救火费用是c2(t2-t1)；每个消防队员的一次性支出是c3．
根据假设条件(１）和(4），烧毁建筑物的损失费为c1V(t2)，救援费为c2(t2-t1)x+c3x．将式（２）、式（３）代入，得到救火总费用为
C(x)=c1V(t2)+c2(t2-t1)x+c3x
=c12π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12+c2c2π(γ-λx)2(λx-β)x+c3x
=2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y•1λx-β+c2γβ12t11λx-y1λx-βx+c3x.（４）
问题归结为求x使C(x)达到最小．令dC(x)dx=0，x需满足下列方程：
λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-y)-1+12(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12=c3.（5）
3.结论
由式（４）给出的总费用由四项三部分组成．第一部分是由前两项组成的烧毁建筑物的损失费：
2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y•1λx-β.
其中第一项是在救火前造成的高层建筑物损失费，可见此项与单位建筑物体积的价值c1及火势蔓延的速度β，γ成正比，这显然是符合实际的；这一项还与自然着火的时间t1的立方成正比，这也是符合实际的，且说明了要减少损失，就必须尽早发现火情．
第二部分是救援费中的消防队员在救火期间的救火费用：c2γβ12t11λx-γ•1λx-βx，这一项与c2，β，γ，t1成正比，与λ成反比，这显然是符合实际的．
第三部分是救援费中消防队员的一次性支出：c3x，这一项显然符合实际．
在应用这个模型时，c1，c2，c3是已知常数，β，γ，λ是由建筑物类型、消防队员素质等因素决定的．
方程（5）是一个无理方程，直接求解是很困难的.但如果借助计算机编程来求解就比较容易了.一种方法可以借助Matlab工具画出函数C(x)的图像，从图像中就可查出C(x)的有意义的最小值和对应的x值，这是一个比较直观的方法.
方法二，根据最速下降法，将方程（5）转化成一个迭代方程：
xt=λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-γ)-1+12•(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12-c3.
用这个迭代的方法也能找到最优解.
以方法一为例，假设某高层建筑深夜11：00失火，5分钟后被发现并报告给消防队，消防队在了解基本情况后初步断定火势蔓延竖向速度为β=0.1 m/s，横向蔓延速度为γ=0.02 m/s，并迅速研究对策，决定5分钟内到达现场开始灭火，t1=600 s.假设每个消防员的灭火速度为λ=0.03 m/s，则必须派3个以上的消防员才有可能灭火.假设建筑物平均单位体积的价值c1=2000元，每个消防员的一次性消耗费用c3=1000元，单位时间内平均每个消防员的救火费用c2=10元/s.将这些参数代入到（４）式得到：
C(x)=3.6191×107+4.5779×106×10.03x-0.02•10.03x-0.1+37.947×10.03x-0.02•10.03x-0.1x+1000x.
用Matlab画出其图像如下图：
图3救火总费用随消防员人数变化从上图可以看出，随着投入救火队员数量的增加，救火费用会迅速下降，达到一定的人数后，费用又开始慢慢上升.显然后面缓慢增加的都是人员的费用，因为烧毁建筑物的损失费是不会因为多投入消防员而增加的.这说明并不是消防队员人数越多越好，达到一定数量后，不但对救火没有帮助，反而增加救火的费用.
图4救火中费用随投入的消防员人数变化（图像局部放大）在90和120之间将图像局部放大，如图4所示，可以明显地看出C(x)在114处取得最小值.说明派出114名消防员最合适，对应的救火总费用为36379741元.
【参考文献】
［1］高云，张浩，王辉．高层建筑救火模型的研究［J］.中国安全科学学报，2009，19（9）：87-90.
［2］赵树嫄．微积分［M］．北京：中国人民大学出版社，2007.
［3］同济大学数学系．高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2006.
【关键词】高层建筑；火灾；非线性模型
近年来，城市建筑越来越高，高层建筑火灾的危害越来越大．高层建筑救火已成为一个社会性的难题，笔者运用数学方法对其进行研究，可提高火灾救援的工作效率，从而缓解目前消防部队普遍存在的经费不足与火灾救援任务日渐繁重的矛盾．
1.问题的分析
一旦发现高层建筑失火后，应派多少消防员前去救火？派的消防员越多，烧毁建筑物的损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑建筑物损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出消防队员的数目．
损失费通常正比于建筑物烧毁的体积，而烧毁体积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数目，消防队员越多灭火越快．救援费除了与消防队员人数有关外，也与灭火时间长短有关．记失火的时刻为t=0，开始救火的时刻为t=t1，灭火的时刻为t=t2．设时刻t时建筑物的烧毁体积为V(t)，则造成损失的建筑物烧毁体积为v(t2)．
dVdt是单位时间烧毁的体积，表示火势蔓延的程度．在消防队员到达之前，即0≤t≤t1，火势越来越大，即dVdt随着t的增加而增加；开始救火后，即t1≤t≤t2，如果消防队员救火能力足夠强，火势会越来越小，即dVdt应减少，并且当t=t2时，dVdt=0．
救援可以分为两部分：一部分是灭火器材的消耗与消防队员的薪金等，与消防队员人数及灭火所用的时间均有关；另一部分是运送消防队员和灭火器材等一次性支出，只与消防队员人数有关．
2.模型的建立
需要对烧毁建筑物的损失费、救援费及火势蔓延程度dVdt的形式作出假设．
(1)损失费与建筑物烧毁体积V(t2)成正比，比例系数为c1，c1即烧毁单位体积的损失费．
(2)火灾以失火点为中心，按照近似半椭球体积不断蔓延（见下图）.
图1烧毁体积V(t)
假设火灾按轴a、轴b的蔓延都是匀速的，称之为线速度，竖向蔓延的线速度是β，横向蔓延的线速度是γ，且向上蔓延更快，即β>γ．
从失火到开始救火这段时间（0≤t≤t1）内，火灾自由蔓延，烧毁体积V随时间变化:
V(t)=23πa2b=23π(γt)2βt=23πγ2βt3．
烧毁体积随时间的变化率称为火势，即火灾蔓延的体积速度，记为E：E(t)=dV(t)dt=2πγ2βt2.火势变化率E′(t)=4πγ2βt，火势加速度A=E″(t)=4πγ2β.由此可见开始救火之前，火势是以一个内在恒定的加速度在蔓延.
(3）假设派出消防队员x名，每个队员灭火的平均线速度为λ．那么开始救火以后（t1≤t≤t2），火灾竖向蔓延的速度为β-λx，横向蔓延的速度为y-λx．要最终扑灭火，应有λx>β>γ．于是火势加速度变为A(t1,t2)=4π(γ-λx)2(β-λx)<0，说明火势有减弱的趋势.在区间［t1,t］上对该加速度进行两重积分，不难得到火势随时间变化函数为：
E(t)=dV(t)dt=2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+2πγ2βt21,t>t1.
所以，火势随时间变化dV(t)dt如下图所示：
图2火势dV(t)dt变化趋势
记t=t1时，dV(t)dt=c．即：
c=2πγ2βt21．（１）
当t=t2时，dV(t)dt=0．于是，2π(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)2+c=0，故：
t2-t1=c2π(γ-λx)2(λx-β).（２）
由定积分的相关知识
V（t2)=∫t102πγ2βt2dt+∫t21［2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+c］dt
=2π3γ2βt31+2π3(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)3+c(t2-t1).
将（１）式、（２）式代入上式得
V(t2)=2π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12.（３）
(4）假设每个消防队员单位时间的费用为c2，于是每个消防队员的救火费用是c2(t2-t1)；每个消防队员的一次性支出是c3．
根据假设条件(１）和(4），烧毁建筑物的损失费为c1V(t2)，救援费为c2(t2-t1)x+c3x．将式（２）、式（３）代入，得到救火总费用为
C(x)=c1V(t2)+c2(t2-t1)x+c3x
=c12π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12+c2c2π(γ-λx)2(λx-β)x+c3x
=2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y•1λx-β+c2γβ12t11λx-y1λx-βx+c3x.（４）
问题归结为求x使C(x)达到最小．令dC(x)dx=0，x需满足下列方程：
λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-y)-1+12(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12=c3.（5）
3.结论
由式（４）给出的总费用由四项三部分组成．第一部分是由前两项组成的烧毁建筑物的损失费：
2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y•1λx-β.
其中第一项是在救火前造成的高层建筑物损失费，可见此项与单位建筑物体积的价值c1及火势蔓延的速度β，γ成正比，这显然是符合实际的；这一项还与自然着火的时间t1的立方成正比，这也是符合实际的，且说明了要减少损失，就必须尽早发现火情．
第二部分是救援费中的消防队员在救火期间的救火费用：c2γβ12t11λx-γ•1λx-βx，这一项与c2，β，γ，t1成正比，与λ成反比，这显然是符合实际的．
第三部分是救援费中消防队员的一次性支出：c3x，这一项显然符合实际．
在应用这个模型时，c1，c2，c3是已知常数，β，γ，λ是由建筑物类型、消防队员素质等因素决定的．
方程（5）是一个无理方程，直接求解是很困难的.但如果借助计算机编程来求解就比较容易了.一种方法可以借助Matlab工具画出函数C(x)的图像，从图像中就可查出C(x)的有意义的最小值和对应的x值，这是一个比较直观的方法.
方法二，根据最速下降法，将方程（5）转化成一个迭代方程：
xt=λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-γ)-1+12•(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12-c3.
用这个迭代的方法也能找到最优解.
以方法一为例，假设某高层建筑深夜11：00失火，5分钟后被发现并报告给消防队，消防队在了解基本情况后初步断定火势蔓延竖向速度为β=0.1 m/s，横向蔓延速度为γ=0.02 m/s，并迅速研究对策，决定5分钟内到达现场开始灭火，t1=600 s.假设每个消防员的灭火速度为λ=0.03 m/s，则必须派3个以上的消防员才有可能灭火.假设建筑物平均单位体积的价值c1=2000元，每个消防员的一次性消耗费用c3=1000元，单位时间内平均每个消防员的救火费用c2=10元/s.将这些参数代入到（４）式得到：
C(x)=3.6191×107+4.5779×106×10.03x-0.02•10.03x-0.1+37.947×10.03x-0.02•10.03x-0.1x+1000x.
用Matlab画出其图像如下图：
图3救火总费用随消防员人数变化从上图可以看出，随着投入救火队员数量的增加，救火费用会迅速下降，达到一定的人数后，费用又开始慢慢上升.显然后面缓慢增加的都是人员的费用，因为烧毁建筑物的损失费是不会因为多投入消防员而增加的.这说明并不是消防队员人数越多越好，达到一定数量后，不但对救火没有帮助，反而增加救火的费用.
图4救火中费用随投入的消防员人数变化（图像局部放大）在90和120之间将图像局部放大，如图4所示，可以明显地看出C(x)在114处取得最小值.说明派出114名消防员最合适，对应的救火总费用为36379741元.
【参考文献】
［1］高云，张浩，王辉．高层建筑救火模型的研究［J］.中国安全科学学报，2009，19（9）：87-90.
［2］赵树嫄．微积分［M］．北京：中国人民大学出版社，2007.
［3］同济大学数学系．高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2006.