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函数作为高中数学的核心内容，它的观点及思想方法贯穿于整个高中数学的全过程，成为高考中考查数学思想方法、能力素质的主要内容. 本文结合近几年高考试题中出现的函数定义域、值域问题，进行归纳分析，以供读者参考.
函数的定义域
常见的函数定义域问题主要是关于根式、分式、对数函数、指数函数等函数定义域问题，通常以选择题、填空题的形式呈现.
1. 常见函数定义域问题
例1 函数[f（x）=4-|x|+lgx2-5x+6x-3]的定义域为（ ）
A. （2，3） B. （2，4]
C. （2，3）[?]（3，4] D. （-1，3）[?]（3，6]
解析 由函数[f（x）]的表达式知，其定义域应满足，
[4-|x|≥0，x2-5x+6x-3>0，] 解之得[-4≤x≤4，x>2，x≠3.]
即函数[f（x）]的定义域为（2，3）[?]（3，4].
答案 C
解读 根式型函数、分式型函数、绝对值型函数、对数函数等定义域问题在历年高考中多次被考查. 解决此类定义域问题，为防止错解，应该先逐个列出满足函数有意义的不等式关系，然后逐个求出相应[x]的取值范围，最后取各个不等式的交集.
2. 抽象函数定义域问题
例2 已知函数[f（x）]的定义域为[[0，2]]，求函数[f（x2-2）]的定义域.
解析 此题是一道抽象函数定义域问题，已知[y=f（x）]的定义域求函数[y=f[g（x）]]定义域问题，通常运用整体代换的方法求解.
[∵f（x）]的定义域为[[0，2]]，
[∴0≤x2-2≤2， ∴2≤x2≤4， ∴2≤x2，x2≤4，]
[∴x≥2或x≤-2，-2≤x≤2， ∴x∈[2，2]?[-2，-2]].
解读 这种题型一般分为两种情况：一种是已知[y=f（x）]的定义域[A]，求[y=f[g（x）]]的定义域；一种是已知[y=f[g（x）]]的定义域[A]，求[y=f（x）]的定义域.不管是哪种情况，在解决这类问题时一定要注意函数的自变量、定义域是什么. 此外整体代换的思想是解决此类问题的主要方法.
函数的值域
从历年的高考试题中可以看出二次函数、指数函数、对数函数等值域问题出现的频率较高. 这类值域问题往往要通过函数的基本性质或结合函数图象、不等式等来求解.
1. 二次函数的值域
例3 求二次函数[y=-x2+4x-2]，[x∈1，4]的值域.
解析 配方得[y=-（x-2）2+2]，[x∈1，4]，求得对称轴为[x=2.]
根据开口方向结合函数图象特征，求得二次函数的值域为[{y-2≤y≤2}].
解读 解决此类问题的方法是先根据二次项系数判断开口方向，其次是看能否通过配方法求得二次函数的对称轴，最后结合图象运用二次函数的对称性求解.
2. 指数、对数函数的值域
例4 求函数[y=4-x-2-x+1，x∈[-3，2]]的最大值与最小值.
解析 [∵y=4-x-2-x+1=（2-x）2-2-x+1]，
令[2-x=t]，则[y=t2-t+1].
又[∵x∈[-3，2]， ∴14≤t≤8].
即[y=t2-t+1]，[14≤t≤8].
[∴y=t2-t+1=（t-12）2+34]，[∴34≤y≤57].
例5 求函数[y=log2x2?log2x4，x∈[1，8]]的最大值和最小值.
解析 由对数的运算性质可得，
[y=（log2x-1）·（log2x-2）]，
展开整理得，[y=（log2x）2-3log2x+2].
令[log2x=t]，[x∈[1，8]]，
则[y=t2-3t+2，t∈[0，3]].
配方得，[y=（t-32）2-14][，t∈[0，3]]，
[∴-14≤y≤2].
解读 指数、对数函数问题，其主要方法是运用换元法将指数、对数函数问题转化为我们熟知的函数形式，比如转化为二次函数、一次函数形式. 在转化过程中往往用到指数、对数的运算性质，在换元替代后还应注意新变量的取值范围.
3. 运用导数求函数值域
例6 已知函数[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e]=2.71828…为自然对数的底数，设[g（x）]是函数[f（x）]的导函数，求函数[g（x）]在区间[0，1]上的最小值.
解析 这是一道典型的运用导数求值域的问题.
由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得，
[g（x）=f（x）=ex-2ax-b]，所以[g（x）=ex-2a.]
又[x∈[0，1]]，[g（x）∈[1-2a，e-2a]].
（1）当[a≤12]时，[g（x）]≥0，
所以[g（x）]在[0，1]上单调递增.
因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].
（2）当[a≥e2]时，[g（x）]≤0，
所以[g（x）]在[0，1]上单调递减.
因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].
（3）当[12 所以函数[g（x）]在区间[[0，ln（2a）]]上单调递减，在区间[（ln（2a），1]]上单调递增.
因此，[g（x）]在[0，1]上的最小值是
[g（ln（2a））=][2a-2aln（2a）-b].
综上所述，当[a≤12]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b]；当[12 解读 解决此类问题一般先运用导数求出函数的单调性，然后结合单调性根据题中所给的区间范围进行求解.
4. 运用不等式求函数值域
例7 [y=（3-a）（a+6），-6≤a≤3]的最大值为（ ）
A. 9 B. [92] C. 3 D. [322]
解析 [∵-6≤a≤3，∴3-a>0，a+6>0.]
由基本不等式可得，
[（3-a）+（a+6）≥2（3-a）（a+6）]，
[∴9≥2（3-a）（a+6）]， 即[（3-a）（a+6）≤92].
故函数[y=][（3-a）（a+6），-6≤a≤3]的最大值为[92.]
答案 B
解读 基本不等式“若[a>0，b>0]，则[a+b2≥][ab]”运用非常广泛，它的一个很重要的用途就是求函数值域. 运用基本不等式要注意“一正”“二定”“三相等”的原则，否则很容易出错.
例8 求函数[y=1-2x+x+1]的最大值.
解析 [y=1-2x+x+1]
[=2?12-x+x+1≤2+1?12-x+x+1]
[=3?12+1=322]，
故函数[y=1-2x+x+1]的最大值为[322].
解读 运用柯西不等式求函数值域是它的一个重要用途. 在运用时要熟记其形式和等号成立的条件，即[a1b1+a2b2+a3b3≤a12+a22+a32?b12+b22+b32]，当且仅当[a1b1=a2b2=a3b3]时取等号.
函数的定义域
常见的函数定义域问题主要是关于根式、分式、对数函数、指数函数等函数定义域问题，通常以选择题、填空题的形式呈现.
1. 常见函数定义域问题
例1 函数[f（x）=4-|x|+lgx2-5x+6x-3]的定义域为（ ）
A. （2，3） B. （2，4]
C. （2，3）[?]（3，4] D. （-1，3）[?]（3，6]
解析 由函数[f（x）]的表达式知，其定义域应满足，
[4-|x|≥0，x2-5x+6x-3>0，] 解之得[-4≤x≤4，x>2，x≠3.]
即函数[f（x）]的定义域为（2，3）[?]（3，4].
答案 C
解读 根式型函数、分式型函数、绝对值型函数、对数函数等定义域问题在历年高考中多次被考查. 解决此类定义域问题，为防止错解，应该先逐个列出满足函数有意义的不等式关系，然后逐个求出相应[x]的取值范围，最后取各个不等式的交集.
2. 抽象函数定义域问题
例2 已知函数[f（x）]的定义域为[[0，2]]，求函数[f（x2-2）]的定义域.
解析 此题是一道抽象函数定义域问题，已知[y=f（x）]的定义域求函数[y=f[g（x）]]定义域问题，通常运用整体代换的方法求解.
[∵f（x）]的定义域为[[0，2]]，
[∴0≤x2-2≤2， ∴2≤x2≤4， ∴2≤x2，x2≤4，]
[∴x≥2或x≤-2，-2≤x≤2， ∴x∈[2，2]?[-2，-2]].
解读 这种题型一般分为两种情况：一种是已知[y=f（x）]的定义域[A]，求[y=f[g（x）]]的定义域；一种是已知[y=f[g（x）]]的定义域[A]，求[y=f（x）]的定义域.不管是哪种情况，在解决这类问题时一定要注意函数的自变量、定义域是什么. 此外整体代换的思想是解决此类问题的主要方法.
函数的值域
从历年的高考试题中可以看出二次函数、指数函数、对数函数等值域问题出现的频率较高. 这类值域问题往往要通过函数的基本性质或结合函数图象、不等式等来求解.
1. 二次函数的值域
例3 求二次函数[y=-x2+4x-2]，[x∈1，4]的值域.
解析 配方得[y=-（x-2）2+2]，[x∈1，4]，求得对称轴为[x=2.]
根据开口方向结合函数图象特征，求得二次函数的值域为[{y-2≤y≤2}].
解读 解决此类问题的方法是先根据二次项系数判断开口方向，其次是看能否通过配方法求得二次函数的对称轴，最后结合图象运用二次函数的对称性求解.
2. 指数、对数函数的值域
例4 求函数[y=4-x-2-x+1，x∈[-3，2]]的最大值与最小值.
解析 [∵y=4-x-2-x+1=（2-x）2-2-x+1]，
令[2-x=t]，则[y=t2-t+1].
又[∵x∈[-3，2]， ∴14≤t≤8].
即[y=t2-t+1]，[14≤t≤8].
[∴y=t2-t+1=（t-12）2+34]，[∴34≤y≤57].
例5 求函数[y=log2x2?log2x4，x∈[1，8]]的最大值和最小值.
解析 由对数的运算性质可得，
[y=（log2x-1）·（log2x-2）]，
展开整理得，[y=（log2x）2-3log2x+2].
令[log2x=t]，[x∈[1，8]]，
则[y=t2-3t+2，t∈[0，3]].
配方得，[y=（t-32）2-14][，t∈[0，3]]，
[∴-14≤y≤2].
解读 指数、对数函数问题，其主要方法是运用换元法将指数、对数函数问题转化为我们熟知的函数形式，比如转化为二次函数、一次函数形式. 在转化过程中往往用到指数、对数的运算性质，在换元替代后还应注意新变量的取值范围.
3. 运用导数求函数值域
例6 已知函数[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e]=2.71828…为自然对数的底数，设[g（x）]是函数[f（x）]的导函数，求函数[g（x）]在区间[0，1]上的最小值.
解析 这是一道典型的运用导数求值域的问题.
由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得，
[g（x）=f（x）=ex-2ax-b]，所以[g（x）=ex-2a.]
又[x∈[0，1]]，[g（x）∈[1-2a，e-2a]].
（1）当[a≤12]时，[g（x）]≥0，
所以[g（x）]在[0，1]上单调递增.
因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].
（2）当[a≥e2]时，[g（x）]≤0，
所以[g（x）]在[0，1]上单调递减.
因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].
（3）当[12
因此，[g（x）]在[0，1]上的最小值是
[g（ln（2a））=][2a-2aln（2a）-b].
综上所述，当[a≤12]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b]；当[12
4. 运用不等式求函数值域
例7 [y=（3-a）（a+6），-6≤a≤3]的最大值为（ ）
A. 9 B. [92] C. 3 D. [322]
解析 [∵-6≤a≤3，∴3-a>0，a+6>0.]
由基本不等式可得，
[（3-a）+（a+6）≥2（3-a）（a+6）]，
[∴9≥2（3-a）（a+6）]， 即[（3-a）（a+6）≤92].
故函数[y=][（3-a）（a+6），-6≤a≤3]的最大值为[92.]
答案 B
解读 基本不等式“若[a>0，b>0]，则[a+b2≥][ab]”运用非常广泛，它的一个很重要的用途就是求函数值域. 运用基本不等式要注意“一正”“二定”“三相等”的原则，否则很容易出错.
例8 求函数[y=1-2x+x+1]的最大值.
解析 [y=1-2x+x+1]
[=2?12-x+x+1≤2+1?12-x+x+1]
[=3?12+1=322]，
故函数[y=1-2x+x+1]的最大值为[322].
解读 运用柯西不等式求函数值域是它的一个重要用途. 在运用时要熟记其形式和等号成立的条件，即[a1b1+a2b2+a3b3≤a12+a22+a32?b12+b22+b32]，当且仅当[a1b1=a2b2=a3b3]时取等号.