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【摘 要】数学美不仅仅蕴含在特殊数学内容中，还蕴含在数学学习的各个情境中。在数学常规教学中，捕捉隐藏的数学美，使以往平庸的课堂展现美的情境，进而启迪学生用数学美思想去解决数学问题，这是提高学生学习效果的普遍性的教学策略。
【关键词】数学美 审美规律 常规教学
如果我们问学生什么是美，得到的答案基本都是说“好看的就是美”。由此反映出我们教学中的一个误区：以往在我们的数学常规教学中，更多关注数学外在形式美和一些特殊数学问题中的美，而忽视广泛的数学美特别是数学内在隐藏的规律美，好像数学美思想渗透的载体只是美的形式，凸显的是一部分特殊数学内容，大量的数学知识学习似乎与数学美无缘，学生数学学习绝大多数在枯燥与乏味中度过，而感受不到数学美的“滋味”。事实上，数学美不仅体现在特殊的数学内容和外在形式上，更普遍地体现在数学内涵的本质规律上。古代哲学家、数学家普罗科拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”数学教学中，注意挖掘数学知识背后隐藏的数学美的因素，让数学美在普遍的常规课堂中都能得到体现，学生的数学学习才会感到有滋有味，我们的数学教学才更有生命力。下面笔者通过“梯形的面积”同课异构教学片段的对比赏析，来体验常规教学中数学美的魅力，思考透过现象挖掘内在数学美和运用数学美的教学途径。
一、以美引学，重启数学美与常规教学的开端
在教学导入环节的情境创设中，教师更多关注的是学生的认知与兴趣，而忽视数学美的情境效应，事实上，后者十分重要。我们看“梯形的面积”教学中两种创设情境的对比。
【导入片段一】
教师出示问题：（1）计算图中平行四边形的面积；（2）平行四边形面积和三角形面积的计算公式是怎么推导出来的？求三角形面积为什么要“除以2”？（3）受此启发，你能不能求出图中的梯形面积？
【导入片段二】
师：同学们，该图案美不美？它主要由什么图形构成？
生：美，是由平行四边形构成的（这是对图形形成感知，是感受后产生的美感，但还没达到美的理性思考层面）。
师：平行四边形对边平行，对边相等，对角相等，它的形状美，因而人们常常应用它来设计图案，但它的美不仅仅体现在形状上，它这个家族还含有长方形、正方形和菱形。如图5，它的边长和高都已知时，它的周长和面积都可求……此时我们会感到它是一个完美的图形。（学生在美感的激发和教师的启迪下，美的理性思考初步产生）
师：我将该平行四边形沿一条线剪开（如图6），去掉一部分，剩下的是梯形，该图形还有原来的图形美吗？
生：形状没有原来的美了，面积我们也不会求了。（学生产生了与美感相悖的失落感）
师：剩下的图形和原图相比，在大家心目中是个残缺的图形，因为在这里，形状不好看了，周长和面积我们也不会求了。（学生回味完整图形的形式美，甚至产生将图形还原的念头，滋生对美的理性思考，为以后环节的思考埋下伏笔）
【思考】导入方式一是我们熟悉并常用的，它通过复习相关的旧知来引出新知。该教学思路明确了学生探究的方向，但忽视了数学美的因素。导入方式二让学生在课始就欣赏数学所带来的外在形式美。这好像在做与本课主题无关的事，其实则不然，这是以学生的数学审美经验为基础，不断引导学生主观上对数学外在美进行捕捉、欣赏和体验，为以下发现数学内在美及滋生相关数学美思想方法提供动力因素。相比较，导入方式二更发挥了数学美的效应，更能对准学生思维的活跃点，开启了数学美与常规教学的结合点。
二、顺美导学，深化数学美与常规教学的融合
数学教学中的引导，第一个误区是只关注学生情感的激发而忽视遵循认知规律；第二个误区是只关注学生思维过程而忽视数学美感的激发。我们接着前面导入环节进入到推导梯形的面积公式环节来进行对比分析。
【探究片段一】（1）学生各小组拿出自己准备好的梯形纸片，剪一剪、拼一拼，推导梯形面积公式；（2）各组互相交流得出：两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形；平行四边形的底等于梯形的上、下底之和，高等于梯形的高；梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，即梯形面积为（上底 下底）×高÷2 。
【探究片段二】师：该图原来是由小正方形拼成的类似平行四边形，剪下一些后，剩下这残缺图形，图形形状好像梯形，你能算出这里小正方形的块数吗？
生：6 7 8 9 10=40。
师：同学们不感到这样一行一行地加，运算烦琐吗？（学生在教师启迪下思考简洁算法，实际是在寻求内在的简洁美）
师：该计算烦琐的原因是各行小正方形个数不等，若各行的小正方形个数相等，我们就可用乘法计算了。该图形是个残缺的图形，计算烦琐是残缺造成的吧？（教师的启迪“一石激起千层浪”，学生在激情中思考将图形复原，恢复整体美）
师生共同得到下面美丽的图形，求得小正方形个数为（10 6）×5÷2=40。
师：一个不好计算的图形，有可能是个残缺的图形，我们要学会将图形整体复原，变为完美。一个完美的图形往往和很多数学知识相关，将不完美的图形复原为完美的图形，往往会从中发现解题思路。下面我们学习梯形面积公式。
师出示问题：如图11，求该梯形面积（单位：厘米）。
（前面教学为学生创设了美的情境，积淀了数学美的思考。此时学生在数学美的感染下，萌发了学习激情，将残缺图形复原，占优势思维状态，在自主探索中求得面积，如图12）
师出示问题：求梯形面积（如图13）。
（学生在数学美的感染中自主探索得到梯形面积公式，如图14）
师：现在梯形已经有了面积计算公式，这样就变得完美了吧？在数学中，有这样一个规律：一个完美的图形，往往是形状好看、和很多数学知识有直接关联的图形。当遇到一个图形不典型、很难求解的问题时，可想象它是个残缺不完美的图形，将其转化为一个完美的图形，有时能求得问题解答。
【思考】探究片段一设计时考虑的关键是学生经历发现过程，引发他们的探究欲望，培养数学兴趣。而探究片段二，正如王永春教授所说，“让人看到了数学美的魅力和桥梁作用”。此时教师在“梯形面积公式直接推导”中并没做多少讲解工作，而将工作主要放在前面的美感激发上。此后由于前面数学美思想的感染，学生大脑中已经将转化、类比等思考和数学美融为一体，学生的思路已经打开了。这些美感、激情和数学方法会有效迁移到后面的梯形面积公式的推导中。教师将梯形面积公式的推导这一重点内容放手交给学生，发挥了学生的主体作用，反而有效实现了重点内容的教学目标。
通过同课异构的对比，我们发现数学美情境效应的魅力，让人想到“化腐朽为神奇”这句话。德国一位学者有过一句精辟的比喻：将 15 克盐放在你的面前，无论如何你难以下咽，但当将 15 克盐放入一碗美味可口的汤中，你就在享用佳肴的过程中不知不觉地将15 克盐全部吸收了。数学美对常规教学好比这汤与盐，我们只有让学生经历数学美的感知、感受、感动过程，引导学生进行数学美的理性思考，才能促进学生形成稳定的数学美的心理，从而喜爱数学这碗好喝的汤，我们的常规教学才能避免让学生的数学学习产生味同嚼蜡之境，而对数学课有着回味无穷之感。
（浙江省衢州市衢江区横路中心小学 324000）
【关键词】数学美 审美规律 常规教学
如果我们问学生什么是美，得到的答案基本都是说“好看的就是美”。由此反映出我们教学中的一个误区：以往在我们的数学常规教学中，更多关注数学外在形式美和一些特殊数学问题中的美，而忽视广泛的数学美特别是数学内在隐藏的规律美，好像数学美思想渗透的载体只是美的形式，凸显的是一部分特殊数学内容，大量的数学知识学习似乎与数学美无缘，学生数学学习绝大多数在枯燥与乏味中度过，而感受不到数学美的“滋味”。事实上，数学美不仅体现在特殊的数学内容和外在形式上，更普遍地体现在数学内涵的本质规律上。古代哲学家、数学家普罗科拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”数学教学中，注意挖掘数学知识背后隐藏的数学美的因素，让数学美在普遍的常规课堂中都能得到体现，学生的数学学习才会感到有滋有味，我们的数学教学才更有生命力。下面笔者通过“梯形的面积”同课异构教学片段的对比赏析，来体验常规教学中数学美的魅力，思考透过现象挖掘内在数学美和运用数学美的教学途径。
一、以美引学，重启数学美与常规教学的开端
在教学导入环节的情境创设中，教师更多关注的是学生的认知与兴趣，而忽视数学美的情境效应，事实上，后者十分重要。我们看“梯形的面积”教学中两种创设情境的对比。
【导入片段一】
教师出示问题：（1）计算图中平行四边形的面积；（2）平行四边形面积和三角形面积的计算公式是怎么推导出来的？求三角形面积为什么要“除以2”？（3）受此启发，你能不能求出图中的梯形面积？
【导入片段二】
师：同学们，该图案美不美？它主要由什么图形构成？
生：美，是由平行四边形构成的（这是对图形形成感知，是感受后产生的美感，但还没达到美的理性思考层面）。
师：平行四边形对边平行，对边相等，对角相等，它的形状美，因而人们常常应用它来设计图案，但它的美不仅仅体现在形状上，它这个家族还含有长方形、正方形和菱形。如图5，它的边长和高都已知时，它的周长和面积都可求……此时我们会感到它是一个完美的图形。（学生在美感的激发和教师的启迪下，美的理性思考初步产生）
师：我将该平行四边形沿一条线剪开（如图6），去掉一部分，剩下的是梯形，该图形还有原来的图形美吗？
生：形状没有原来的美了，面积我们也不会求了。（学生产生了与美感相悖的失落感）
师：剩下的图形和原图相比，在大家心目中是个残缺的图形，因为在这里，形状不好看了，周长和面积我们也不会求了。（学生回味完整图形的形式美，甚至产生将图形还原的念头，滋生对美的理性思考，为以后环节的思考埋下伏笔）
【思考】导入方式一是我们熟悉并常用的，它通过复习相关的旧知来引出新知。该教学思路明确了学生探究的方向，但忽视了数学美的因素。导入方式二让学生在课始就欣赏数学所带来的外在形式美。这好像在做与本课主题无关的事，其实则不然，这是以学生的数学审美经验为基础，不断引导学生主观上对数学外在美进行捕捉、欣赏和体验，为以下发现数学内在美及滋生相关数学美思想方法提供动力因素。相比较，导入方式二更发挥了数学美的效应，更能对准学生思维的活跃点，开启了数学美与常规教学的结合点。
二、顺美导学，深化数学美与常规教学的融合
数学教学中的引导，第一个误区是只关注学生情感的激发而忽视遵循认知规律；第二个误区是只关注学生思维过程而忽视数学美感的激发。我们接着前面导入环节进入到推导梯形的面积公式环节来进行对比分析。
【探究片段一】（1）学生各小组拿出自己准备好的梯形纸片，剪一剪、拼一拼，推导梯形面积公式；（2）各组互相交流得出：两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形；平行四边形的底等于梯形的上、下底之和，高等于梯形的高；梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，即梯形面积为（上底 下底）×高÷2 。
【探究片段二】师：该图原来是由小正方形拼成的类似平行四边形，剪下一些后，剩下这残缺图形，图形形状好像梯形，你能算出这里小正方形的块数吗？
生：6 7 8 9 10=40。
师：同学们不感到这样一行一行地加，运算烦琐吗？（学生在教师启迪下思考简洁算法，实际是在寻求内在的简洁美）
师：该计算烦琐的原因是各行小正方形个数不等，若各行的小正方形个数相等，我们就可用乘法计算了。该图形是个残缺的图形，计算烦琐是残缺造成的吧？（教师的启迪“一石激起千层浪”，学生在激情中思考将图形复原，恢复整体美）
师生共同得到下面美丽的图形，求得小正方形个数为（10 6）×5÷2=40。
师：一个不好计算的图形，有可能是个残缺的图形，我们要学会将图形整体复原，变为完美。一个完美的图形往往和很多数学知识相关，将不完美的图形复原为完美的图形，往往会从中发现解题思路。下面我们学习梯形面积公式。
师出示问题：如图11，求该梯形面积（单位：厘米）。
（前面教学为学生创设了美的情境，积淀了数学美的思考。此时学生在数学美的感染下，萌发了学习激情，将残缺图形复原，占优势思维状态，在自主探索中求得面积，如图12）
师出示问题：求梯形面积（如图13）。
（学生在数学美的感染中自主探索得到梯形面积公式，如图14）
师：现在梯形已经有了面积计算公式，这样就变得完美了吧？在数学中，有这样一个规律：一个完美的图形，往往是形状好看、和很多数学知识有直接关联的图形。当遇到一个图形不典型、很难求解的问题时，可想象它是个残缺不完美的图形，将其转化为一个完美的图形，有时能求得问题解答。
【思考】探究片段一设计时考虑的关键是学生经历发现过程，引发他们的探究欲望，培养数学兴趣。而探究片段二，正如王永春教授所说，“让人看到了数学美的魅力和桥梁作用”。此时教师在“梯形面积公式直接推导”中并没做多少讲解工作，而将工作主要放在前面的美感激发上。此后由于前面数学美思想的感染，学生大脑中已经将转化、类比等思考和数学美融为一体，学生的思路已经打开了。这些美感、激情和数学方法会有效迁移到后面的梯形面积公式的推导中。教师将梯形面积公式的推导这一重点内容放手交给学生，发挥了学生的主体作用，反而有效实现了重点内容的教学目标。
通过同课异构的对比，我们发现数学美情境效应的魅力，让人想到“化腐朽为神奇”这句话。德国一位学者有过一句精辟的比喻：将 15 克盐放在你的面前，无论如何你难以下咽，但当将 15 克盐放入一碗美味可口的汤中，你就在享用佳肴的过程中不知不觉地将15 克盐全部吸收了。数学美对常规教学好比这汤与盐，我们只有让学生经历数学美的感知、感受、感动过程，引导学生进行数学美的理性思考，才能促进学生形成稳定的数学美的心理，从而喜爱数学这碗好喝的汤，我们的常规教学才能避免让学生的数学学习产生味同嚼蜡之境，而对数学课有着回味无穷之感。
（浙江省衢州市衢江区横路中心小学 324000）