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摘要：为了解决实际问题中对精度和速度的双优要求，本文对PSO惯性因子进行混合改進，分别提出线性自调整（LAPSO）和非线性自调整（NLAPSO）两种改进算法，这两种算法在迭代初期动态地调整粒子的飞行速度，加强对种群信息的利用，增强种群的多样性，随着演化的进行，采用线性或非线性的改进策略，使得粒子能更快更精确的聚集到全局最优。实验表明这两种改进较线性、非线性或动态自适应调整，性能均有所提高。
关键字：PSO 惯性因子 测试函数
1 概述
为了更好的求解大量非线性、不可微和多峰值的复杂优化问题，受研究鸟群觅食行为的启发，1995年Kennedy博士和Eberhart博士提出了一种仿真鸟群飞行的算法——粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[1]。
与其他全局优化算法一样，受本身更新机制的限制，基本粒子群算法同样存在早熟收敛和后期振荡现象。为了提高算法的性能，国内外学者进行了大量的研究，提出了各种改进。主要有变更公式法[2]、分群方法[3]、混合算法[4]、动方法[5]、自适应改进方法[6]等，这些改进均在不同程度上提高了算法的寻优能力，但对于一些实际问题，总期望在有限的迭代次数内，尽可能地得到可接受的最优解。
因此，如何得到速度和精度的双优成为粒子群算法研究的一个热点。基于此，本文在对文献[2，7]改进的基础上，对PSO惯性因子进行混合改进，分别提出线性自调整（LAPSO）和非线性自调整（NLAPSO）两种改进算法，这两种算法在迭代初期动态地调整粒子的飞行速度，加强对种群信息的利用，并且在一定条件下通过对粒子的重新扩散，增强种群的多样性，随着演化的进行，采用线性或非线性的改进策略，使得粒子能更快更精确的聚集到全局最优，从而提高算法的性能。
实验结果表明这两种改进方法较基本的线性、非线性或动态自适应调整方法，性能均有所提高。
2 PSO算法
为了改善原始PSO算法的收敛性能，标准PSO算法中引入惯性权重的概念[8]，初始化一群粒子，设有N个，算法按下列方式迭代：第i个粒子位置记为xi=（xi1，xi2，…，xiD），i=1，2，…，N，飞行速度记为vi=（vi1，vi2，…，viD），迄今为止搜索到的个体极值表示为pbi=（pbi1，pbi2，…，pbiD），整个粒子群中，所有粒子迄今为止所搜索到的全局极值表示为gb=（gb1，gb2，…，gbD）。则第i个粒子就按下面公式更新自己速度和位置（KermedyJ，EberhartR.C，1995）：
v =wv +c R （pb x ）+c R （gb x ） （1）
x =x +v （2）
式中，i=1，2，…，N，N是群体中的粒子数；k=1，2，…，n，是迭代次数；d=1，2，…，D，D是解空间的维数，即自变量的个数；v 表示第k次迭代粒子i速度矢量的d维分量；x 表示第k次迭代粒子i位置矢量的d维分量；pb 表示第k次迭代粒子i个体最好位置矢量（pb）的d维分量；gb 表示前k次迭代粒子群最好位置（gb）矢量的d维分量；R1和R2是介于[0，1]区间的随机数；C1和C2为学习因子，分别调节向pb和gb方向飞行的步长，学习因子使粒子具有自我总结和向群体中优秀个体学习的能力，合适的学习因子可以加快算法的收敛且不易陷入局部最优，根据经验值他们通常都取2。
3 LAPSO和NLAPSO
1998年，shi等（1998）提出按照线性递减（LDIW）规律改变惯性因子W的改进方法，很好地提高了算法的精度。
2006，陈贵敏等人受LDIW策略的递减惯性因子思想的启发，为了在全局搜索和局部搜索之间取得更好的平衡，构造了3种非线性递减惯性因子策略，并与LDIW策略进行了对比研究，实现发现W2非线性方法在精度上更具有优势。
2005年，张选平等通过引入粒子进化度e和粒子聚合度a来改变惯性因子的PSO算法，改进标准PSO算法收敛速度较慢的不足。
实际问题中，往往需要达到精度和速度的双优，而上述三种改进都更多的偏向于实现精度或速度更优，基于此，本文提出线性自调整（LAPSO）和非线性自调整（NLAPSO）两种改进算法，以期达到速度和精度的双优。仿真实验见4。
4 仿真结果及分析
4.1 实验设置
为了有效对比算法的高效性和稳定性，本文分别选择优化算法常用的多个测试函数进行仿真验证，基于篇幅，此处列举两个具有代表性的测试函数进行仿真。
其中，标准Sphere函数为单峰二次函数；Rastrigrin函数是典型的非线性多模态函数，具有广泛的搜索空间、大量的局部极小点和高大的障碍物，通常被认为是各优化算法比较难处理的复杂多模态问题。
表1 标准测试函数
相关参数设置：粒子规模设置为100，以期获得较好的精度和稳定性，2个测试函数的维数都分别取D=5，10，最大迭代次数均为1000值。
本文的实验运行平台是MATLAB2010b，在内存为2 GB，CPU速度为2GHz的PC机上运行。
4.2 实现结果与分析
分别对每个测试函数在六种不同策略下进行寻优，分别运行30次得到如下结果：
由仿真数据和迭代曲线图可以得出如下结论：
①表2和表3可以看出：
不同维数下，LAPSO较LPSO，NLAPSO较NLPSO精度和稳定性均有很好的改善。
不同维数下，LAPSO、NLAPSO较APSO精度和稳定性有很好的改善。
②图1和图2可以看出：
不同维数下，LAPSO较LPSO，NLAPSO较NLPSO收敛速度明显增快。
5 结论
实验表明本文提出的LAPSO和NLAPSO改进算法，在精度、稳定性、收敛速度上均有很好的改善。
参考文献：
[1]KermedyJ.， EberhartR . C.. Particle Swarm Optimization[A].Neural Nebworks，1995 Proeeedings . .IEEE International
Conferenee on[C] . Piscataway， NJ： 1995 ：1942-1948.
[2]张顶学，关治洪，刘新芝.一种动态改变惯性权重的自适应粒子群算法[J].控制与决策，2008，23（11）：1253-1257.
[3]陈国初，俞金寿.两群微粒群优化算法及其应用[J].控制理论与应用，2007，24
（2）：294-298.
[4]SHELOKAR P S， SIARRY P， JAPA
RAMAN V K，et al.Particle swarm and ant colony algorithms hybridized for im-
proved continuous opt im ization [J].
App lied Mathematics and Computation，
2007，188（1）：129-142.
[5]赫然，王永吉，王青.一种改进的自适应逃逸微粒群算法及实验分析[J].软件学报，2005，16（12）：2037-2045.
[6]任小波，杨忠秀.一种动态扩散粒子群算法[J].计算机应用，2010，30（1）.
[7]陈贵敏，贾建援，韩琪.粒子群优化算法的惯性权值递减策略研究[J].西安交通大学学报，2006，40（1）.
[8]Shi Y.H，Eberahrt R.C.Parameter Selection in Particle Swarm Optimization[J].Lecture Notes in Computer Science，1998，14（47）：591-600.
关键字：PSO 惯性因子 测试函数
1 概述
为了更好的求解大量非线性、不可微和多峰值的复杂优化问题，受研究鸟群觅食行为的启发，1995年Kennedy博士和Eberhart博士提出了一种仿真鸟群飞行的算法——粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[1]。
与其他全局优化算法一样，受本身更新机制的限制，基本粒子群算法同样存在早熟收敛和后期振荡现象。为了提高算法的性能，国内外学者进行了大量的研究，提出了各种改进。主要有变更公式法[2]、分群方法[3]、混合算法[4]、动方法[5]、自适应改进方法[6]等，这些改进均在不同程度上提高了算法的寻优能力，但对于一些实际问题，总期望在有限的迭代次数内，尽可能地得到可接受的最优解。
因此，如何得到速度和精度的双优成为粒子群算法研究的一个热点。基于此，本文在对文献[2，7]改进的基础上，对PSO惯性因子进行混合改进，分别提出线性自调整（LAPSO）和非线性自调整（NLAPSO）两种改进算法，这两种算法在迭代初期动态地调整粒子的飞行速度，加强对种群信息的利用，并且在一定条件下通过对粒子的重新扩散，增强种群的多样性，随着演化的进行，采用线性或非线性的改进策略，使得粒子能更快更精确的聚集到全局最优，从而提高算法的性能。
实验结果表明这两种改进方法较基本的线性、非线性或动态自适应调整方法，性能均有所提高。
2 PSO算法
为了改善原始PSO算法的收敛性能，标准PSO算法中引入惯性权重的概念[8]，初始化一群粒子，设有N个，算法按下列方式迭代：第i个粒子位置记为xi=（xi1，xi2，…，xiD），i=1，2，…，N，飞行速度记为vi=（vi1，vi2，…，viD），迄今为止搜索到的个体极值表示为pbi=（pbi1，pbi2，…，pbiD），整个粒子群中，所有粒子迄今为止所搜索到的全局极值表示为gb=（gb1，gb2，…，gbD）。则第i个粒子就按下面公式更新自己速度和位置（KermedyJ，EberhartR.C，1995）：
v =wv +c R （pb x ）+c R （gb x ） （1）
x =x +v （2）
式中，i=1，2，…，N，N是群体中的粒子数；k=1，2，…，n，是迭代次数；d=1，2，…，D，D是解空间的维数，即自变量的个数；v 表示第k次迭代粒子i速度矢量的d维分量；x 表示第k次迭代粒子i位置矢量的d维分量；pb 表示第k次迭代粒子i个体最好位置矢量（pb）的d维分量；gb 表示前k次迭代粒子群最好位置（gb）矢量的d维分量；R1和R2是介于[0，1]区间的随机数；C1和C2为学习因子，分别调节向pb和gb方向飞行的步长，学习因子使粒子具有自我总结和向群体中优秀个体学习的能力，合适的学习因子可以加快算法的收敛且不易陷入局部最优，根据经验值他们通常都取2。
3 LAPSO和NLAPSO
1998年，shi等（1998）提出按照线性递减（LDIW）规律改变惯性因子W的改进方法，很好地提高了算法的精度。
2006，陈贵敏等人受LDIW策略的递减惯性因子思想的启发，为了在全局搜索和局部搜索之间取得更好的平衡，构造了3种非线性递减惯性因子策略，并与LDIW策略进行了对比研究，实现发现W2非线性方法在精度上更具有优势。
2005年，张选平等通过引入粒子进化度e和粒子聚合度a来改变惯性因子的PSO算法，改进标准PSO算法收敛速度较慢的不足。
实际问题中，往往需要达到精度和速度的双优，而上述三种改进都更多的偏向于实现精度或速度更优，基于此，本文提出线性自调整（LAPSO）和非线性自调整（NLAPSO）两种改进算法，以期达到速度和精度的双优。仿真实验见4。
4 仿真结果及分析
4.1 实验设置
为了有效对比算法的高效性和稳定性，本文分别选择优化算法常用的多个测试函数进行仿真验证，基于篇幅，此处列举两个具有代表性的测试函数进行仿真。
其中，标准Sphere函数为单峰二次函数；Rastrigrin函数是典型的非线性多模态函数，具有广泛的搜索空间、大量的局部极小点和高大的障碍物，通常被认为是各优化算法比较难处理的复杂多模态问题。
表1 标准测试函数
相关参数设置：粒子规模设置为100，以期获得较好的精度和稳定性，2个测试函数的维数都分别取D=5，10，最大迭代次数均为1000值。
本文的实验运行平台是MATLAB2010b，在内存为2 GB，CPU速度为2GHz的PC机上运行。
4.2 实现结果与分析
分别对每个测试函数在六种不同策略下进行寻优，分别运行30次得到如下结果：
由仿真数据和迭代曲线图可以得出如下结论：
①表2和表3可以看出：
不同维数下，LAPSO较LPSO，NLAPSO较NLPSO精度和稳定性均有很好的改善。
不同维数下，LAPSO、NLAPSO较APSO精度和稳定性有很好的改善。
②图1和图2可以看出：
不同维数下，LAPSO较LPSO，NLAPSO较NLPSO收敛速度明显增快。
5 结论
实验表明本文提出的LAPSO和NLAPSO改进算法，在精度、稳定性、收敛速度上均有很好的改善。
参考文献：
[1]KermedyJ.， EberhartR . C.. Particle Swarm Optimization[A].Neural Nebworks，1995 Proeeedings . .IEEE International
Conferenee on[C] . Piscataway， NJ： 1995 ：1942-1948.
[2]张顶学，关治洪，刘新芝.一种动态改变惯性权重的自适应粒子群算法[J].控制与决策，2008，23（11）：1253-1257.
[3]陈国初，俞金寿.两群微粒群优化算法及其应用[J].控制理论与应用，2007，24
（2）：294-298.
[4]SHELOKAR P S， SIARRY P， JAPA
RAMAN V K，et al.Particle swarm and ant colony algorithms hybridized for im-
proved continuous opt im ization [J].
App lied Mathematics and Computation，
2007，188（1）：129-142.
[5]赫然，王永吉，王青.一种改进的自适应逃逸微粒群算法及实验分析[J].软件学报，2005，16（12）：2037-2045.
[6]任小波，杨忠秀.一种动态扩散粒子群算法[J].计算机应用，2010，30（1）.
[7]陈贵敏，贾建援，韩琪.粒子群优化算法的惯性权值递减策略研究[J].西安交通大学学报，2006，40（1）.
[8]Shi Y.H，Eberahrt R.C.Parameter Selection in Particle Swarm Optimization[J].Lecture Notes in Computer Science，1998，14（47）：591-600.