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立体几何是高中数學的主要知识模块,也是高考考查的重点知识之一,在求解立体几何问题时,部分同学常因概念不清晰,理解不透彻,盲目地套用性质定理等导致错解.在高三复习中,如能在这些易错点上强化正误辨析意识,就能加强训练的针对性,提高复习效率.本文意在剖析立体几何的常见错误,为同学们在今后的立体几何复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.
易错点一:概念不清导致错解
例1 以下四个命题:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确命题的序号是 .
错解:①②
错因分析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;②中,若A,B,C三点共线,则点A,B,C,D,E有可能不共面,故②错误;③中,如图所示正方体的棱中,a,b共面,a,c共面,而b,c异面,故③错误;④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误.
正解:①
例2 设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若mα,n∥α,则m∥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;
④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中是真命题的是 (填序号).
错解:①②
错因分析:①m∥n或m,n异面,故①错误;易知②正确;③m∥β或mβ,故③错误;④α∥β或α与β相交,故④错误.
正解:②
易错点二:定义理解不清导致错解
例3 已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面β,则直线l与平面α的位置关系为 .
错解:平行
错因分析:直线与平面的位置关系的定义理解不清,在判断时最易忽视“线在面内”.
正解:平行或线在面内
例4 如图所示,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,则AO与A′C′所成角的度数为 .
错解:∵A′C′∥AC,
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB,AB⊥平面BB′CC′,
∴OC⊥AB.又AB∩BO=B,
∴OC⊥平面ABO.
又OA平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC=22,AC=2,
sin∠OAC=OCAC=12,∴∠OAC=30°或150°.即AO与A′C′所成角的度数为30°或150°.
错因分析:没有真正理解两异面直线所成角的定义,∠OAC可能是OA,A′C′所成的角或其补角.在解题过程中,通过直线的平移得到角,只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.
正解:在Rt△AOC中,OC=22,AC=2,
sin∠OAC=OCAC=12,∴∠OAC=30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
易错点三:忽视判定定理中的条件导致错解
例5 在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:GH∥平面PAD.
错解:证明 (1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=12AD,
E为AD的中点,∴BC∥AE且BC=AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点,
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,
∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH平面OHF,∴GH∥平面PAD.
错因分析:在第(1)问解题过程中的漏掉“FO平面BEF,AP平面BEF”,在第(2)问解题过程中的漏掉“PD平面PAD,FH平面PAD”和“AD平面PAD,OH平面PAD”缺一不可,应用判定定理时需把条件罗列完全.
正解:证明 (1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=12AD,
E为AD的中点,∴BC∥AE且BC=AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点,
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
又FO平面BEF,AP平面BEF,∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,又PD平面PAD,FH平面PAD,
∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,又∵AD平面PAD,OH平面PAD,
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH平面OHF,∴GH∥平面PAD. 例6 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
错解:(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.
在三棱柱ABCA1B1C1中,
BB1
瘙 綊
CC1,
∴四边形BB1C1C为平行四边形,
所以∵B1C1∥BC,∴GH∥BC.
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF平面BCHG,BC平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形.
∴A1E∥GB.
∵A1E平面BCHG,GB平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∴平面EFA1∥平面BCHG.
错因分析:在第(2)问解题过程中漏掉“A1E∩EF=E”,忽视了面面平行的判定定理中有五个条件,也是缺一不可,若没有两“相交”直线这个条件,不一定有面面平行,也可能相交.
正解:(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.
∵EF平面BCHG,BC平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形.
∴A1E∥GB.
∵A1E平面BCHG,GB平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.
易错点四:盲目地套用性质定理导致错解
例7 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中點.
(1)求证:直线AE⊥直线DA1;
(2)在线段AA1上求一点G,使得直线AE⊥平面DFG.
错解:在平面ABCD内,过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.
错因分析:不能说作平面的垂线,在一个平面内作另一个平面的垂线,若两个平面不垂直,则不能作出,若两个平面垂直,只需作交线的垂线即可.
正解:(1)连结AD1,BC1,由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1,
又AE平面ABC1D1,∴DA1⊥AE.
(2)所示G点即为A1点,证明如下:
由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连结AH,EH,
由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可证DF⊥平面AHE,
∵AE平面AHE,∴DF⊥AE.
又DF∩A1D=D,
∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.
(作者:吴雅琴,如皋市第一中学)
易错点一:概念不清导致错解
例1 以下四个命题:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确命题的序号是 .
错解:①②
错因分析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;②中,若A,B,C三点共线,则点A,B,C,D,E有可能不共面,故②错误;③中,如图所示正方体的棱中,a,b共面,a,c共面,而b,c异面,故③错误;④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误.
正解:①
例2 设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若mα,n∥α,则m∥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;
④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中是真命题的是 (填序号).
错解:①②
错因分析:①m∥n或m,n异面,故①错误;易知②正确;③m∥β或mβ,故③错误;④α∥β或α与β相交,故④错误.
正解:②
易错点二:定义理解不清导致错解
例3 已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面β,则直线l与平面α的位置关系为 .
错解:平行
错因分析:直线与平面的位置关系的定义理解不清,在判断时最易忽视“线在面内”.
正解:平行或线在面内
例4 如图所示,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,则AO与A′C′所成角的度数为 .
错解:∵A′C′∥AC,
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB,AB⊥平面BB′CC′,
∴OC⊥AB.又AB∩BO=B,
∴OC⊥平面ABO.
又OA平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC=22,AC=2,
sin∠OAC=OCAC=12,∴∠OAC=30°或150°.即AO与A′C′所成角的度数为30°或150°.
错因分析:没有真正理解两异面直线所成角的定义,∠OAC可能是OA,A′C′所成的角或其补角.在解题过程中,通过直线的平移得到角,只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.
正解:在Rt△AOC中,OC=22,AC=2,
sin∠OAC=OCAC=12,∴∠OAC=30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
易错点三:忽视判定定理中的条件导致错解
例5 在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:GH∥平面PAD.
错解:证明 (1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=12AD,
E为AD的中点,∴BC∥AE且BC=AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点,
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,
∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH平面OHF,∴GH∥平面PAD.
错因分析:在第(1)问解题过程中的漏掉“FO平面BEF,AP平面BEF”,在第(2)问解题过程中的漏掉“PD平面PAD,FH平面PAD”和“AD平面PAD,OH平面PAD”缺一不可,应用判定定理时需把条件罗列完全.
正解:证明 (1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=12AD,
E为AD的中点,∴BC∥AE且BC=AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点,
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
又FO平面BEF,AP平面BEF,∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,又PD平面PAD,FH平面PAD,
∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,又∵AD平面PAD,OH平面PAD,
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH平面OHF,∴GH∥平面PAD. 例6 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
错解:(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.
在三棱柱ABCA1B1C1中,
BB1
瘙 綊
CC1,
∴四边形BB1C1C为平行四边形,
所以∵B1C1∥BC,∴GH∥BC.
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF平面BCHG,BC平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形.
∴A1E∥GB.
∵A1E平面BCHG,GB平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∴平面EFA1∥平面BCHG.
错因分析:在第(2)问解题过程中漏掉“A1E∩EF=E”,忽视了面面平行的判定定理中有五个条件,也是缺一不可,若没有两“相交”直线这个条件,不一定有面面平行,也可能相交.
正解:(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.
∵EF平面BCHG,BC平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形.
∴A1E∥GB.
∵A1E平面BCHG,GB平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.
易错点四:盲目地套用性质定理导致错解
例7 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中點.
(1)求证:直线AE⊥直线DA1;
(2)在线段AA1上求一点G,使得直线AE⊥平面DFG.
错解:在平面ABCD内,过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.
错因分析:不能说作平面的垂线,在一个平面内作另一个平面的垂线,若两个平面不垂直,则不能作出,若两个平面垂直,只需作交线的垂线即可.
正解:(1)连结AD1,BC1,由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1,
又AE平面ABC1D1,∴DA1⊥AE.
(2)所示G点即为A1点,证明如下:
由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连结AH,EH,
由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可证DF⊥平面AHE,
∵AE平面AHE,∴DF⊥AE.
又DF∩A1D=D,
∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.
(作者:吴雅琴,如皋市第一中学)