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在高三复习中，常常要进行难度较大、灵活性较强的试题演练与评讲，其目的在于强化学生对核心知识与方法的综合运用，加深理解，优化知识结构，从而进一步提高灵活解题的能力，以及能从整体的高度驾驭高中所学的内容． 但在实际的教学中，往往并不能达到预期的目标和效果，而不得不陷入就题论题的窠臼和重回题海的恶性循环之中．本文以2011年金华十校联考解析几何题为例，通过对试题解答过程的研究，以师生思维的再现与对接，对实现有效教学作一些思考．
一、 试题再现
如图1，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为1+，过M（2，0）任作一条直线l交椭圆于不同的两点A，B，点A关于x轴的对称点为Q．
（1） 求证：Q，F，B三点共线；
（2） 求△MBQ面积S的最大值．
直接呈现精练而冰冷的标准答案，这在现实的教学过程中并不少见． 尤其在时间紧迫、任务繁重、应考要求高的高三复习阶段，常出现诸如快速地对答案，或将答案贴在教室内，由学生自己阅读思考的现象. 可以想见，这样的复习效果是不可能好的． 实际上，学生需要的不只在于“是什么”，更在于“为什么”，“为什么这样做；为什么我想不到；为什么我一听就懂，一写就错”等等． 究其原因，学生需要的是对一个鲜活而生动的、来自于身边的、真实的过程的探究．
二、 不同视角
综合性问题的评讲要达到理想的效果，一个很重要的前提就是，师生双方都要对该题作出独立的思考． 学生通过自身努力，做一些思维上的粗加工，形成一些哪怕肤浅性的认识与想法；教师则应站在学科知识与教育心理学的高度，对试题作出理性的分析，这样课堂上师生的交流，才是众多个性思维的交流，才可能在彼此的思维交集处引发共鸣与启示．
1. 教师的眼光
教师的思考与剖析，旨在把握命题者的意图，挖掘试题的内涵价值，找出学生的思维起点，充分调动学生的认知经验． 为了评说试题，需要精心设计，有效展开，从拿到题目，经历曲折真实的探索，直至完全解出的所有环节及每一步骤，作好充分而深入的准备，做好评讲的预案．
2. 学生的困境
大多数学生在解答过程中出现两种情况：一是直接运用题中的条件，求出椭圆方程后证明三点共线偷工减料，跳步解答；二是求三角形面积的最值，由于在题设与结果的之间，找不到有效连接的桥梁，结果思路无法贯通． 学生不能获得解题成功的主要原因是：①学生运算错误，直线方程代入椭圆方程出错，韦达定理写错，面积计算出错等；②缺乏基本模式的积累与识别，不少学生没有求面积．
三、 追寻试题讲评的价值
1. 一题多解——给学生一个发散思维的机会
对高三复习课来说，由于不再像讲授新课那样受教学内容的限制，从而在内容和方法上给师生提供了更为广阔的自由空间，因此一题多解在高三复习课的教学中备受师生们的青睐． 然而，要真正发挥一题多解的教学功能，需要教师的精心设计和合理调控．
师：根据条件得到椭圆方程+y2＝1后如何证明三点共线？
生1：证明直线FB和FQ的斜率相等． 设直线AB的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程得到一元二次方程，利用韦达定理计算kFB-kFQ＝0．
生2：证明向量，共线．
生3：写出直线BQ的方程，证明直线BQ经过点F．
师：能否用直线AB方程的其他形式证明三点共线？
生3：设直线AB的方程为x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，-y1）.
由x=my+2，x2+2y2=2. 消去x可得（m2+2）y2+4my+2=0.
∴ y1+y2=，y1·y2=.
kFB-kFQ＝-=.
因为（x2-1）y1+y2（x1-1）＝（my2+1）y1+y2（my1+1），
＝2my1y2+y1+y2＝2m·+＝0，
所以kFB-kFQ＝0，从而Q，F，B三点共线．
师：△BMQ的面积如何求？先求出△BMQ的一边长（如BQ），再求另一个顶点M到BQ的距离，也许是学生对解析几何运算的恐惧，放弃了这个很自然的解法．有没有简单的解法？
生4：△BMQ的面积为S＝MF·（y+y2）=（y1+y2）＝k（x1+x2）-4k＝.
师：求面积最大值有哪些方法？
生5：判别式法，由S＝，得2Sk2-2k+S=0，
由Δ＝4-4×2S2≥0，得S≤.
所以△BMQ面积S的最大值为．
生6：基本不等式法S＝=≤.
生7：（导数法）S＝，令t＝k，g（t）=，
则t＞0，且g′（t）=.
当t∈（0，）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t∈（，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．
所以g（t）的最大值为g（）＝．
随着师生、生生不断地“对话”，展示的解法步步深入，学生的思维在慢热中逐步变得“灵动”起来，避免了繁难的解法成为个别优秀生“专利”的尴尬局面，从而让每位学生都有收获：领悟和把握问题的本质．
2. 类比拓展——给学生一个施展想象的空间
类比推理的结论虽然是或然性的，但它在人们的认识中具有重要的作用． 首先，类比推理可以启发人的思路，在进行创新性思维时，常常用到类比推理． 在我们解决问题的过程中，类比推理是常用的思维方法，它具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养． 其次，科学史上许多科学事实的发现和科学假设的提出，都是借助于类比推理． 正如开普勒所说：“我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信赖的老师，它揭示了自然界的秘密．”
师：点M（2，0）是不是一个特殊点？
生8：由于2＝，提出如下结论：已知椭圆C∶+＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，相应的一条准线与x轴的交点为M，过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，F，B三点共线（如图2）．
师：是否正确？
生8证明：（我们以右焦点和右准线为例）设l的方程为x=my+（m≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，-y1），直线BQ的方程为y+y1＝（x-x1），
令y=0，得x=，
将x=my+代入+=1并整理得
（b2m2+a2）y2+y+=0.
从而y1+y2=，y1y2＝.
又x1＝my1+，x2＝my2+，
将以上四式先后代入x=，得x=c.
所以点F在直线BQ上，即Q，F，B三点共线．
师：是否有类似结论？
生9：已知双曲线C∶-＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，相应的一条准线与x轴的交点为M，过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，F，B三点共线．
生10：已知抛物线C∶y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，F，B三点共线．
证明：略
本节课中，引导学生由椭圆到圆锥曲线的类比，猜想出了类似的结论． 其实，结论的正确与否并不重要，重要的是让学生具备这样一种意识——类比是伟大的引路人，从中丰富学生的想象空间，享受获得发现的喜悦和愉快． 因此，在日常教学中，我们应充分挖掘可利用的素材，让学生通过类比去猜想、去探索，拓展其思维空间，提高其数学素养．
3． 反思总结——给学生一个提升智慧的时间
通过一题多解，学生从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓了解题思路． 通过类比，学生获得了更多的结论，拓展了思维空间． 从某种意义上说，解题过程是一个不断进行自我反思的过程，由于课堂时间的限制，由于学生思维的差异，课后请同学反思完成如下作业：①订正；②整理课堂得到的结论；③课后思考如下问题：
问题1 有没有更加一般的有关三点共线的结论？
问题2 △MBQ面积的最大值真的是吗？
问题3 △MBQ面积的最小值是否存在？
师：这是提升智慧的机会，请把握；这是享受发现的快乐，请体验．
第二节课请学生交流得到如下的结论．
问题1有如下三个正确结论：
生11： 已知抛物线C∶y2＝2px（p＞0）的对称轴x轴上两点M（t，0），N（-t，0），过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，N，B三点共线．
生12：已知椭圆C∶+＝1（a＞b＞0）的对称轴上两点M（t，0），N（，0），过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，N，B三点共线．
生13： 已知双曲线C∶-＝1（a＞0，b＞0）的对称轴上两点M（t，0），N（，0），过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，N，B三点共线．
问题2的结论：
生14：不存在△MBQ面积的最大值，原因是△MBQ面积取时，判别式为零，直线AB与椭圆只有一个公共点，不合题意．
师：解题时判别式的检验常常成为虚设，标准答案也不例外，虽然说经验证，但实际上没有验证．通过反思，希望提升思维的严密性．
问题3的结论：不存在△MBQ面积的最小值．
并请学生提出试题修改建议．学生情绪高涨．最后参照高考样卷形成一致修改意见：求△MBQ面积的范围．
试卷讲评的价值，不单是让学生知道得更多，知识面更广，尤其在于教会学生在知道别人的东西的同时，有能力和机会悟出自己的东西，这种“悟”的过程，离不开老师给时间，离不开老师给空间，离不开老师给机会，更离不开学生的想象，离不开学生的自主探索，离不开学生的反思总结，离不开丰富多彩的师生的交锋，但或许正是这个过程，最终才能让我们的学生学会创造，学会创新，成就他们的才华和德行．
一、 试题再现
如图1，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为1+，过M（2，0）任作一条直线l交椭圆于不同的两点A，B，点A关于x轴的对称点为Q．
（1） 求证：Q，F，B三点共线；
（2） 求△MBQ面积S的最大值．
直接呈现精练而冰冷的标准答案，这在现实的教学过程中并不少见． 尤其在时间紧迫、任务繁重、应考要求高的高三复习阶段，常出现诸如快速地对答案，或将答案贴在教室内，由学生自己阅读思考的现象. 可以想见，这样的复习效果是不可能好的． 实际上，学生需要的不只在于“是什么”，更在于“为什么”，“为什么这样做；为什么我想不到；为什么我一听就懂，一写就错”等等． 究其原因，学生需要的是对一个鲜活而生动的、来自于身边的、真实的过程的探究．
二、 不同视角
综合性问题的评讲要达到理想的效果，一个很重要的前提就是，师生双方都要对该题作出独立的思考． 学生通过自身努力，做一些思维上的粗加工，形成一些哪怕肤浅性的认识与想法；教师则应站在学科知识与教育心理学的高度，对试题作出理性的分析，这样课堂上师生的交流，才是众多个性思维的交流，才可能在彼此的思维交集处引发共鸣与启示．
1. 教师的眼光
教师的思考与剖析，旨在把握命题者的意图，挖掘试题的内涵价值，找出学生的思维起点，充分调动学生的认知经验． 为了评说试题，需要精心设计，有效展开，从拿到题目，经历曲折真实的探索，直至完全解出的所有环节及每一步骤，作好充分而深入的准备，做好评讲的预案．
2. 学生的困境
大多数学生在解答过程中出现两种情况：一是直接运用题中的条件，求出椭圆方程后证明三点共线偷工减料，跳步解答；二是求三角形面积的最值，由于在题设与结果的之间，找不到有效连接的桥梁，结果思路无法贯通． 学生不能获得解题成功的主要原因是：①学生运算错误，直线方程代入椭圆方程出错，韦达定理写错，面积计算出错等；②缺乏基本模式的积累与识别，不少学生没有求面积．
三、 追寻试题讲评的价值
1. 一题多解——给学生一个发散思维的机会
对高三复习课来说，由于不再像讲授新课那样受教学内容的限制，从而在内容和方法上给师生提供了更为广阔的自由空间，因此一题多解在高三复习课的教学中备受师生们的青睐． 然而，要真正发挥一题多解的教学功能，需要教师的精心设计和合理调控．
师：根据条件得到椭圆方程+y2＝1后如何证明三点共线？
生1：证明直线FB和FQ的斜率相等． 设直线AB的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程得到一元二次方程，利用韦达定理计算kFB-kFQ＝0．
生2：证明向量，共线．
生3：写出直线BQ的方程，证明直线BQ经过点F．
师：能否用直线AB方程的其他形式证明三点共线？
生3：设直线AB的方程为x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，-y1）.
由x=my+2，x2+2y2=2. 消去x可得（m2+2）y2+4my+2=0.
∴ y1+y2=，y1·y2=.
kFB-kFQ＝-=.
因为（x2-1）y1+y2（x1-1）＝（my2+1）y1+y2（my1+1），
＝2my1y2+y1+y2＝2m·+＝0，
所以kFB-kFQ＝0，从而Q，F，B三点共线．
师：△BMQ的面积如何求？先求出△BMQ的一边长（如BQ），再求另一个顶点M到BQ的距离，也许是学生对解析几何运算的恐惧，放弃了这个很自然的解法．有没有简单的解法？
生4：△BMQ的面积为S＝MF·（y+y2）=（y1+y2）＝k（x1+x2）-4k＝.
师：求面积最大值有哪些方法？
生5：判别式法，由S＝，得2Sk2-2k+S=0，
由Δ＝4-4×2S2≥0，得S≤.
所以△BMQ面积S的最大值为．
生6：基本不等式法S＝=≤.
生7：（导数法）S＝，令t＝k，g（t）=，
则t＞0，且g′（t）=.
当t∈（0，）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t∈（，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．
所以g（t）的最大值为g（）＝．
随着师生、生生不断地“对话”，展示的解法步步深入，学生的思维在慢热中逐步变得“灵动”起来，避免了繁难的解法成为个别优秀生“专利”的尴尬局面，从而让每位学生都有收获：领悟和把握问题的本质．
2. 类比拓展——给学生一个施展想象的空间
类比推理的结论虽然是或然性的，但它在人们的认识中具有重要的作用． 首先，类比推理可以启发人的思路，在进行创新性思维时，常常用到类比推理． 在我们解决问题的过程中，类比推理是常用的思维方法，它具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养． 其次，科学史上许多科学事实的发现和科学假设的提出，都是借助于类比推理． 正如开普勒所说：“我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信赖的老师，它揭示了自然界的秘密．”
师：点M（2，0）是不是一个特殊点？
生8：由于2＝，提出如下结论：已知椭圆C∶+＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，相应的一条准线与x轴的交点为M，过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，F，B三点共线（如图2）．
师：是否正确？
生8证明：（我们以右焦点和右准线为例）设l的方程为x=my+（m≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，-y1），直线BQ的方程为y+y1＝（x-x1），
令y=0，得x=，
将x=my+代入+=1并整理得
（b2m2+a2）y2+y+=0.
从而y1+y2=，y1y2＝.
又x1＝my1+，x2＝my2+，
将以上四式先后代入x=，得x=c.
所以点F在直线BQ上，即Q，F，B三点共线．
师：是否有类似结论？
生9：已知双曲线C∶-＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，相应的一条准线与x轴的交点为M，过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，F，B三点共线．
生10：已知抛物线C∶y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，F，B三点共线．
证明：略
本节课中，引导学生由椭圆到圆锥曲线的类比，猜想出了类似的结论． 其实，结论的正确与否并不重要，重要的是让学生具备这样一种意识——类比是伟大的引路人，从中丰富学生的想象空间，享受获得发现的喜悦和愉快． 因此，在日常教学中，我们应充分挖掘可利用的素材，让学生通过类比去猜想、去探索，拓展其思维空间，提高其数学素养．
3． 反思总结——给学生一个提升智慧的时间
通过一题多解，学生从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓了解题思路． 通过类比，学生获得了更多的结论，拓展了思维空间． 从某种意义上说，解题过程是一个不断进行自我反思的过程，由于课堂时间的限制，由于学生思维的差异，课后请同学反思完成如下作业：①订正；②整理课堂得到的结论；③课后思考如下问题：
问题1 有没有更加一般的有关三点共线的结论？
问题2 △MBQ面积的最大值真的是吗？
问题3 △MBQ面积的最小值是否存在？
师：这是提升智慧的机会，请把握；这是享受发现的快乐，请体验．
第二节课请学生交流得到如下的结论．
问题1有如下三个正确结论：
生11： 已知抛物线C∶y2＝2px（p＞0）的对称轴x轴上两点M（t，0），N（-t，0），过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，N，B三点共线．
生12：已知椭圆C∶+＝1（a＞b＞0）的对称轴上两点M（t，0），N（，0），过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，N，B三点共线．
生13： 已知双曲线C∶-＝1（a＞0，b＞0）的对称轴上两点M（t，0），N（，0），过点M的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为Q，则Q，N，B三点共线．
问题2的结论：
生14：不存在△MBQ面积的最大值，原因是△MBQ面积取时，判别式为零，直线AB与椭圆只有一个公共点，不合题意．
师：解题时判别式的检验常常成为虚设，标准答案也不例外，虽然说经验证，但实际上没有验证．通过反思，希望提升思维的严密性．
问题3的结论：不存在△MBQ面积的最小值．
并请学生提出试题修改建议．学生情绪高涨．最后参照高考样卷形成一致修改意见：求△MBQ面积的范围．
试卷讲评的价值，不单是让学生知道得更多，知识面更广，尤其在于教会学生在知道别人的东西的同时，有能力和机会悟出自己的东西，这种“悟”的过程，离不开老师给时间，离不开老师给空间，离不开老师给机会，更离不开学生的想象，离不开学生的自主探索，离不开学生的反思总结，离不开丰富多彩的师生的交锋，但或许正是这个过程，最终才能让我们的学生学会创造，学会创新，成就他们的才华和德行．